◆東京都 千葉 英伸 さんからの解答。
まず、問題の整数はpq以上はないことを示したいので、いくつかの命題を順番に示していきます。
（命題１）
整数m、nが|m|＜q、|n|＜pのとき、
mp＝nq → m＝n＝0
これはp、qは互いに素なので明らかです。
（最小公倍数がpqとうことです）
（命題２）
0≦ｍ1 、ｍ2＜qのときに、
ｍ1p、ｍ2pをqで割った余りを ｒ1、ｒ2 とすると、
ｍ1 ≠ｍ2 → ｒ1≠ ｒ2
実際、ｍ1p、ｍ2pをqで割った商をa、bとすれば、
ｍ1p＝aq＋ｒ1
ｍ2p＝bq＋ｒ2
と表せるので、 ｒ1＝ｒ2 だとすると、
(ｍ1−ｍ2 )p＝(a−b)qとなり、
命題１より ｍ1＝ｍ2
（命題３）
pq以上の数は、0以上のある整数m、nで
mp＋nqと表現できる。
命題２より、q個の整数
0、p、2p、3p、・・・(q−1)pをqで割った余りはすべて異なるので、
これらq個の余りの中に、0からq−1までの整数はすべて１回ずつ現れます。
今、pq以上の整数Aをqで割った余りをrとすると、
A＝aq＋r
また、このrに対して、0≦m＜qを満たすあるmが存在して、
mp＝bq＋r
ここで、mp＜pq≦Aなので、a≧b
よって、
A＝mp＋(a−b)q＝mp＋nq
（m、nは0以上の整数）と書くことができます。
さて、問題のmp＋nqと書くことのできない整数ですが、
これはpq以上はないことがわかりました。
そこで、0以上pq未満の整数でmp＋nqと書くことができる整数を数えます。
0≦m＜q、0≦n＜pであるものだけ考えれば十分です。
このとき、ｍ1p＋ｎ1 q＝ｍ2p＋ｎ2 qならば、
(ｍ1−ｍ2)p＝(ｎ2−ｎ1 )q
なので命題１よりｍ1＝ｍ2 、ｎ1＝ｎ2 。
つまり、異なるm、nの組には異なる整数が対応することがわかります。
そこで、座標平面上で点(mp、nq)を考えると、数えようとしている整数は
これらの点のうちmp＋nq＜pqとなる点、
つまり、直線x＋y＝pqより下にある点に対応します。
図から明らかなように、x方向にq＋1個、y方向にp＋1個。
このうち、直線x＋y＝pq上に２点(pq、0)、(0、pq)があるのを考慮すれば点の個数は、
| １ ―― ２ | (ｐ＋１)(ｑ＋１)−１ |
これは、0以上pq未満の整数でmp＋nqと書くことができる整数の個数なので、問題の答えは、
| ｐｑ−( | １ ―― ２ | (ｐ＋１)(ｑ＋１)−１) |
| ＝ | １ ―― ２ | (ｐ−１)(ｑ−１) |
◆広島県 清川 育男 さんからのコメント。
この問題はｐ，ｑが素数でなくとも互いに素ということで拡張出来ますね。
（ｐ，ｑ）＝１
| 表わせない整数の個数 | (p-1)(q-1) ―――――― ２ |
A=mp+nq≧(p-1)(q-1) はすべて表わせる。
例えば、
p=8,q=21 (8,21)=1
(8-1)(21-1)/2=70 表わせない個数。
A=8m+21n≧140 はすべて表わせる。