『ミカエルの問題』解答

◆神奈川県　ねこ さんからの解答。

シミュレーションプログラムに倣い、ミカエル、ルリヲが矢を壊す確率を設定し、
これをそれぞれPm,Prとする。

４本の矢をa,b,c,dとすると、
ルリヲの１回目(R1)、ミカエルの１回目(M1)、ルリヲの２回目(M2)の射的として可能な 組み合わせは
７２通り。

そのとき、a,b,c,dのそれぞれが１本だけ壊れた場合
（Ba,Bb,Bc,Bd）の犯人は次のように決まる。

　 R1 M1 R2 Ba Bb Bc Bd
1 ab ab c M M R 　
2 ab ab d M M 　 R
3 ab ac b M R M 　
4 ab ac d M R M R
5 ab ad b M R 　 M
6 ab ad c M R R M
7 ab bc a R M M 　
8 ab bc d R M M R
9 ab bd a R M 　 M
10 ab bd c R M R M
11 ab cd a R R M M
12 ab cd b R R M M
13 ac ab c M M R 　
14 ac ab d M M 　 R
15 ac ac b M R M 　
16 ac ac d M 　 M R
17 ac ad b M R R M
18 ac ad c M 　 R M
19 ac bc a R M M 　
20 ac bc d R M M R
21 ac bd a R M R M
22 ac bd c R M R M
23 ac cd a R 　 M M
24 ac cd b R R M M
25 ad ab c M M R R
26 ad ab d M M 　 R
27 ad ac b M R M R
28 ad ac d M 　 M R
29 ad ad b M R 　 M
30 ad ad c M 　 R M
31 ad bc a R M M R
32 ad bc d R M M R
33 ad bd a R M 　 M
34 ad bd c R M R M
35 ad cd a R 　 M M
36 ad cd b R R M M
37 bc ab c M M R 　
38 bc ab d M M R R
39 bc ac b M R M 　
40 bc ac d M R M R
41 bc ad b M R R M
42 bc ad c M R R M
43 bc bc a R M M 　
44 bc bc d 　 M M R
45 bc bd a R M R M
46 bc bd c 　 M R M
47 bc cd a R R M M
48 bc cd b 　 R M M
49 bd ab c M M R R
50 bd ab d M M 　 R
51 bd ac b M R M R
52 bd ac d M R M R
53 bd ad b M R 　 M
54 bd ad c M R R M
55 bd bc a R M M R
56 bd bc d 　 M M R
57 bd bd a R M 　 M
58 bd bd c 　 M R M
59 bd cd a R R M M
60 bd cd b 　 R M M
61 cd ab c M M R R
62 cd ab d M M R R
63 cd ac b M R M R
64 cd ac d M 　 M R
65 cd ad b M R R M
66 cd ad c M 　 R M
67 cd bc a R M M R
68 cd bc d 　 M M R
69 cd bd a R M R M
70 cd bd c 　 M R M
71 cd cd a R 　 M M
72 cd cd b 　 R M M

ミカエルが犯人である場合（M）は144通り。
ルリヲが犯人である場合（R）は108通り。

矢が１本だけ壊れたという事象をB1とすると、
ミカエルが１本だけ壊す確率P(M∩B1)は

P(M∩B1) = 144･Pm(1-Pm)･(1-Pr)3

同様にP(R∩B1)は

P(B1) = 108･(1-Pm)2･Pr(1-Pr)2

よって、矢が１本壊れたときに
ミカエルが犯人である確率P(M|B1)は

P(M|B1)
= P(M∩B1)/P(B1)
= P(M∩B1)/{P(M∩B1) + P(R∩B1)}
= 144･Pm(1-Pm)･(1-Pr)3/{144･Pm(1-Pm)･(1-Pr)3 + 108･(1-Pm)2･Pr(1-Pr)2}
= 4Pm(1-Pr)/{4Pm(1-Pr) + 3Pr(1-Pm)}
この式による計算値とシミュレーション結果を比較すると次のようになります。

計算値
Pr/Pm 0.0100 0.0500 0.1000 0.2000 0.3000 0.5000 0.7000 0.9000
0.0100 0.5714 0.8742 0.9362 0.9706 0.9826 0.9925 0.996 0.9992
0.0500 0.2038 0.5714 0.7379 0.8636 0.9157 0.9620 0.983 0.9956
0.1000 0.1081 0.3871 0.5714 0.7500 0.8372 0.9231 0.965 0.9908
0.2000 0.0511 0.2192 0.3721 0.5714 0.6957 0.8421 0.925 0.9796
0.3000 0.0305 0.1407 0.2569 0.4375 0.5714 0.7568 0.878 0.9655
0.5000 0.0133 0.0656 0.1290 0.2500 0.3636 0.5714 0.756 0.9231
0.7000 0.0057 0.0292 0.0597 0.1250 0.1967 0.3636 0.571 0.8372
0.9000 0.0015 0.0077 0.0162 0.0357 0.0597 0.1290 0.256 0.5714

シミュレーション結果
Pr/Pm 0.0100 0.0500 0.1000 0.2000 0.3000 0.5000 0.7000 0.9000
0.0100 0.5721 0.8741 0.9362 0.9706 0.9827 0.9925 0.996 0.9992
0.0500 0.2042 0.5717 0.7376 0.8638 0.9158 0.9619 0.983 0.9956
0.1000 0.1079 0.3868 0.5711 0.7507 0.8373 0.9231 0.965 0.9908
0.2000 0.0512 0.2196 0.3726 0.5716 0.6953 0.8421 0.925 0.9793
0.3000 0.0305 0.1408 0.2568 0.4378 0.5719 0.7571 0.878 0.9655
0.5000 0.0134 0.0658 0.1289 0.2498 0.3638 0.5713 0.757 0.9233
0.7000 0.0057 0.0293 0.0594 0.1244 0.1964 0.3634 0.572 0.8391
0.9000 0.0014 0.0078 0.0162 0.0353 0.0602 0.1283 0.257 0.5763

◆東京都　かえる さんからの解答。

リルヲとミカエルの矢の技術に関する情報がないものとする。
リルヲとミカエルの両人とも１回矢を撃って壊れる確率は等しい（＝ｐと置く）ものと仮定する。

（あ）

問題の手順の後１本だけ矢が壊れていて、かつリルヲがその矢を壊している確率

（あ−１）最初の２本を撃ったときに１本が壊れた場合の確率

2Ｃ1ｐ（１−ｐ）・ １
4Ｃ3		（１−ｐ）3＝ １
２		ｐ（１−ｐ）4

（あ−２）最後の１本を撃ったときに壊れた場合の確率

（１−ｐ）2・（１−ｐ）2・ｐ＝ｐ（１−ｐ）4

（あ）＝（あ−１）＋（あ−２）＝ ３
２		ｐ（１−ｐ）4

（い）

問題の手順の後１本だけ矢が壊れていて、かつミカエルがその矢を壊している確率

（１−ｐ）2・2Ｃ1ｐ（１−ｐ）・（１−ｐ）＝２ｐ（１−ｐ）4

求める条件付確率
＝ （い）
（あ）＋（い）
＝ ２
３／２＋２
＝ ４
７		・・・【答】

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