◆東京都 xyzw さんからの解答。
【問題１】
F3(x) = x2-1
F4(x) = x3-2x
F5(x) = x4-3x2+1
F6(x) = x5-4x3+3x
したがってF6(x) = 0⇔ x(x2-1)(x2-3) = 0
∴ x = 0, ±1, ±
【問題２】
| x = 2cos( | kπ 6 | ) (k=1〜5) とかける。 |
【問題３】
漸化式よりFn(x)はxの(n-1)次式であることがわかる。
| x | k | =2cos( | kπ n | ) (k=1〜n-1) とする。 |
θ≠(整数)×π、α = cosθ+isinθ、β = cosθ-isinθ、
| x = α+β = 2cosθ、fn(x) = | sin(nθ) sinθ | とおけば、 |
| = | αn-βn α-β |
| = (α+β) | αn-1-βn-1 α-β |
-αβ | αn-2-βn-2 α-β |
| =xfn-1(x)-fn-2(x) |
| θk= | kπ n |
(k=1〜n-1) は | sin(nθ) sinθ | = 0 をみたすので、 |
(n-1)次方程式の解は重解も含めて(n-1)個であるが、
異なる(n-1)個の数 xk (k=1〜n-1) が解なので、これが Fn(x)=0 の解の全て。
したがって Fn(x)=0 の解は
| x =2cos( | kπ n | ) (k=1〜n-1) となる。 |
【コメント】
| 2cos( | kπ n | ) が整数係数の(n-1)次方程式の解になるのはとても面白いですね。 |
◆京都府 大空風成 さんからの解答。
【問題３】
F1(X)=1、F2(X)=X
Fn(X)=X*Fn-1(X)-Fn-2(X) …(1)
この漸化式の特性方程式 t2-Xt+1=0 …(2)
の2つの解を、α、βとすると、
解と係数の関係より、α+β=X、αβ=1 …(3)
これを(1)に代入して解くと、
Fn(X)-β*Fn-1(X)=α{Fn-1(X)-β*Fn-2(X)}=α2
{Fn-2(X)-β*Fn-3(X)}=……
…=αn-2{F2(X)-β*F1(X)} =αn-2(X-β)=αn-2(α+β-
β)=αn-1
| よって、Fn(X)-β*Fn-1(X)=αn-1 …(4)
また、Fn(X)-α*Fn-1(X)=βn-1 …(5) (4)*α-(5)*βより |
|||||
|
|||||
|
|||
|
Fn(X)=0 を解くと、 (3)より、α≠0だから、α2n-1=0 よって、α2は1のn乗根（ただし、(7)よりα2≠1）だから、 |
|||||
|
|||||
|
ゆえに、(3)より、βはαの共役複素数となり、X=α+βは共役複素数の和だから、 |
|||
|
【コメント】 さらに、Fn(X)の一般式を求めてみると、 |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|