◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【Ｓの性質】
a,bを任意のｎ次正方行列とするとき、Ｓが
(1) Ｓ（ａ＋ｂ）＝Ｓ（ａ）＋Ｓ（ｂ）
(2) Ｓ（kａ） ＝k×Ｓ（ａ） ｋは実数
(3) Ｓ（Ｉ） ＝ｎ Ｉは単位行列。
の性質を持つことは明らか。
【解答】
視察により Ｂ＝−Ａ＋ｎＩ とおけば、(1)(2)(3)により
１．
Ｓ（Ａ）＋Ｓ（Ｂ）
＝Ｓ（Ａ）−Ｓ（Ａ）＋Ｓ（Ｉ）×ｎ
＝ｎ2
２．
Ｓ（ＡＢ）− Ｓ（ＢＡ）
＝−Ｓ（Ａ2）＋ｎＳ（Ａ）＋Ｓ（Ａ2）−ｎＳ（Ａ）
＝０
３．
Ｓ（Ａ2）− Ｓ（Ｂ2）
＝Ｓ（Ａ2）−Ｓ（Ａ2−２ｎＡ＋ｎ2Ｉ）
＝２ｎＳ（Ａ）−ｎ3
＝ｎ｛２Ｓ（Ａ）−ｎ2｝
Ｓ（Ａ）− Ｓ（Ｂ）
＝Ｓ（Ａ）＋Ｓ（Ａ）−Ｓ（Ｉ）×ｎ
＝２Ｓ（Ａ）−ｎ2
よって、
Ｓ（Ａ2）− Ｓ（Ｂ2）＝ｎ｛Ｓ（Ａ）− Ｓ（Ｂ）｝
以上 １．２．３．の性質を満足する。
即ち、Ｂの存在が証明された。