◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
１＋２＋３＝１×２×３
１＋３＋２＝１×３×２
２＋１＋３＝２×１×３
２＋３＋１＝２×３×１
３＋１＋２＝３×１×２
３＋２＋１＝３×２×１
左辺＝６。右辺＝６。
６通り。
【問題２】
１＋１＋２＋４＝１×１×２×４
１＋１＋４＋２＝１×１×４×２
１＋２＋１＋４＝１×２×１×４
１＋２＋４＋１＝１×２×４×１
１＋４＋１＋２＝１×４×１×２
１＋４＋２＋１＝１×４×２×１
２＋１＋１＋４＝２×１×１×４
２＋１＋４＋１＝２×１×４×１
２＋４＋１＋１＝２×４×１×１
４＋１＋１＋２＝４×１×１×２
４＋１＋２＋１＝４×１×２×１
４＋２＋１＋１＝４×２×１×１
左辺＝８。右辺＝８。
１２通り。
【問題３】
１＋１＋１＋２＋５＝１×１×１×２×５＝１０
１＋１＋１＋３＋３＝１＋１＋１×３×３＝９
１＋１＋２＋２＋２＝１×１×２×２×２＝８
４０通り。
【問題４】
１＋１＋１＋１＋２＋６＝１×１×１×１×２×６＝１２
３０通り。
【コメント】
この問題は規則が分かれば、どんどん解を見つけていけるのが面白いので問題にしてみました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【おまけ】
１）規則性その１
１がＫ個とχ，Ｙ。
χ≦Ｙ≦９とする。
（Ｋ＋２）個のとき
χ×Ｙ＝Ｋ＋χ＋Ｙ
（χ−１）×（Ｙ−１）＝Ｋ＋１．．．（＊）
χ−１≦８，Ｙ−１≦８
Ｋ＋２≦６５
６５個のとき
１＋１＋・・・＋９＋９＝１×１×・・・×９×９＝８１
１が６３個 ６３＋９＋９＝８１
（Ｋ＋１）が素数
（１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，５３，５９，６１）以外のとき
６５個以下で、１２，１４，１８，２０，２４，３０，３８，４２，４４，４８，５４，６０，６２以外のときは（＊）が成り立つ。
それでは６６個の場合は？
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
まず，【問題０】
ａ×ｂ＝ａ＋ｂ（ａ，ｂは１〜９の整数）を考える。
（ａ−１)(ｂ−１)＝１ より ａ＝２，ｂ＝２
よって ２×２＝２＋２
次に ａ×ｂ＝ａ＋ｂ＋ｋ
（ａ≧ｂ≧２，ｋは自然数）・・・@を考える
(ａ−１)(ｂ−１）＝ｋ＋１
ｋ＋１＝ｍｎ（ｍ，ｎは整数でｍ＞ｎ）とするとき，
ａ＝ｍ＋１，ｂ＝ｎ＋１は，@をみたす。
@の左辺に１をｋ個かけても左辺はかわらない。
また，@の右辺のｋは１のｋ個の和とみなすことができるので，
【問題ｋ】の解が得られる。
（以下 ａ≧ｂ≧ｃ≧・・・とする）
【問題１】
ｋ＋１＝２，ｍ＝２，ｎ＝１より
ａ＝３，ｂ＝２
３×２×１＝３＋２＋１
【問題２】
ｋ＋１＝３，ｍ＝３，ｎ＝１より
ａ＝４，ｂ＝２
４×２×１×１＝４＋２＋１＋１
【問題３】
ｋ＋１＝４，ｍ＝４，ｎ＝１より
ａ＝５，ｂ＝２
５×２×１×１×１＝５＋２＋１＋１＋１
ｍ＝２，ｎ＝２より
ａ＝３，ｂ＝３
３×３×１×１×１＝３＋３＋１＋１＋１
【問題４】
ｋ＋１＝５，ｍ＝５，ｎ＝１より
ａ＝６，ｂ＝２
６×２×１×１×１×１＝６＋２＋１＋１＋１＋１
（おまけ）
ただし，【問題３】には，
２×２×２×１×１＝２＋２＋２＋１＋１ という解も存在する。
ａ×ｂ×ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｋ
（ａ≧ｂ≧ｃ≧２，ｋは自然数）・・・Aで，
ｋ＝２の場合にあたる。
※これらが解のすべてであることは，感覚的には明らかすぎるのだが，なかなかスッキリとは示せない。
あとは，どなたかにお願いするということで・・・
（別のアプローチが必要かも？）
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
（Ｎ−１）個が素数になる場合
●Ｎ＝１２
１が８個，２，２，２，２（＝１６）
●Ｎ＝１４
１が１１個，２，２，５（＝２０）
●Ｎ＝１８
１が１５個，２，３，４（＝２４）
●Ｎ＝２０
１が１７個，２，２，７（＝２８）
●Ｎ＝２４
見つかりません。
●Ｎ＝３０
１が２６個，２，２，３，３（＝３６）
２４個のときは見つかりません。
任意のＮ個で成り立つ規則性があるのでしょうか。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
こだわってみました。
（Ｎ−１）個が素数のとき 続き
●Ｎ＝３２
２９＋２＋４＋５＝２×４×５＝４０
●Ｎ＝３８
３５＋２＋３＋８＝２×３×８＝４８
●Ｎ＝４２
３７＋２＋２＋２＋２＋３＝２×２×２×２×３＝４８
●Ｎ＝４４
みつかりません。
●Ｎ＝４８
みつかりません。
●Ｎ＝５４
５０＋２＋２＋２＋８＝２×２×２×８＝６４
●Ｎ＝６０
５７＋２＋４＋９＝２×４×９＝７２
●Ｎ＝６２
５９＋３＋４＋６＝３×４×６×＝７２
（Ｎ−１）個が素数のとき
２４，４４，４８のときは解がないように思います。
おまけ
Ｎ＝６６ 解がないように思います。
数学的解決をお願いします。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【おまけ】
例題をまねて探してみました。
３4×４２５０＝３４４２５０
【コメント】
こんなのもあるそうです。
１3＋２3＋３3＋・・１０3＝５５2
累乗の計算を全て忘れて、
１＋２＋３＋・・１０＝５５
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【おまけ】
４９2×２０５＝４９２２０５
◆神奈川県 数楽者 さんからのコメント。
数字の個数をｎとし、２以上の数をａ、ｂ、ｃなどで表すことにします。
ここではｎは７０以下とします。
１）２以上の数が２個の場合。
清川さんが最初の解答の「おまけ」で解いたように
ａｂ＝ａ＋ｂ＋ｎ−２
を解いて
（ａ−１）（ｂ−１）＝ｎ−１
となり、ｎ−１が８以下の２つの自然数の積で表せれば、解があります。
(注)
９以下という制限が無ければ、ｎと２とｎ−２個の１が解になります。
したがって、ｎ−１が８以下の整数の積で表現できないものが残ります。
それらは、
ｎ＝12,14,18,20,23,24,27,28,30,32,34,35,38,39,40,42,44,45,46,47,48,51,52,53,54,55,56,58,59,60,61,62,63,64,66以上 となります。
清川さんは、ｎ−１が素数となるものだけを取り上げていますが、不十分です。
２）２以上の数が３個で、その中の一つが２の場合
条件より
２ａｂ＝ａ＋ｂ＋２＋ｎ−３＝ａ＋ｂ＋ｎ−１
両辺を２倍して
４ａｂ＝２ａ＋２ｂ＋２ｎ−２
４ａｂ−２ａ−２ｂ＝２ｎ−２
（２ａ−１）（２ｂ−１）＝２ｎ−１
したがって、２ｎ−１が１７以下の奇数の積で表現できれば解があります。
これで解が見つかるものは、
ｎ＝14,18,20,23,28,32,38,39,46,53,59,60,61,68 です。
ｎ＝23について考えます。
（他は皆さんで計算してみて下さい)
条件に合わない解（数が10以上)は、
23と2と21個の１（積も和も46）。
23-1=22=11*2 より、12と3と21個の１
（積も和も36）。
の２つがあります。
ここでの方法から、
23*2-1=45=5*9=3*15より
5,3,2,1・・（積も和も30）と、
8,2,2,1・・（積も和も32）の２通りの解が得られます。
３）２以上の数が３個で、その中の一つが３の場合
条件より
３ａｂ＝ａ＋ｂ＋ｎ
両辺を３倍し、３ａと３ｂを左辺に移項して両辺に１を加え、左辺を因数分解すると、
（３ａ−１）（３ｂ−１）＝３ｎ＋１ となる。
したがって、３ｎ＋１が３で割ると２あまる２つの数の積で表現できれば解がある。
これで、ｎ＝40,45,51,62,69について解が見つかる。
４）２以上の数が３個で、その中の一つが４の場合
ｎ＝55,70に解があることが分かる。（詳細は省略)
５）２以上の数が４個で、その中の二つがともに２の場合
条件から
４ａｂ＝ａ＋ｂ＋ｎ
したがって、
（４ａ−１）（４ｂ−１）＝４ｎ＋１
これより、
ｎ＝12,30,47,52,54,56,63 について解があることがわかる。
６）その他
２以上の数が４個で、その中の二つが３と２の場合
（ｎ＝64に解がある)
２以上の数が５個で、その中の三つがともに２の場合
（ｎ＝27,42に解がある)
と、順に計算すればよい。
７）現段階で解の存在が不明なもの。（７０以下で）
ｎ＝２４，３４，３５，４４，４８，５８，６６，６７
ひょっとしたら計算間違いがあるかもしれませんが、こんな所でいかがでしょうか
◆京都府の中学校３年生 アイ ラブ ビーム さんからの解答。
【問題１】
a+b+c=a×b×c
小さい数から上の式に数をあわしていくと、
答えは １＋２＋３＝１×２×３ となる。
【問題２】
a+b+c+d=a×b×c×d
小さい数から上の式に数をあわしていく。
それに、同じ数字があってもいいのだから、一番小さい１をなるべく多く使うようにすると、答えは
１＋１＋２＋４＝１×１×２×４ となる。
【問題３】
a+b+c+d+e=a×b×c×d×e
問題２と同じようにすると、答えは
１＋１＋１＋２＋５＝１×１×１×２×５ となる。
【問題４】
a+b+c+d+e+f=a×b×c×d×e×f
問題２と同じようにすると、 答えは
１＋１＋１＋１＋２＋６＝１×１×１×１×２×６ となる。
【法則】
数字が１けた増えていくのにつれて、１を１つ増やして、２は必ず１つ入れて、もう１つの数字は１ずつたしていくと、まちがい算は成り立つ。
◆東京都の小学生 3.14 さんからの解答。
【問題１】
a1、b2、c3
1＋2＋3＝1×2×3＝6
【問題２】
a1、b1、c2、d4
1＋1＋2＋4＝1×1×2×4＝8
【問題３】
a1、b1、c1、d2、e5
1＋1＋1＋2＋5＝1×1×1×2×5＝10
【問題４】
a1、b1、c1、d1、e2、f6
1＋1＋1＋1＋2＋6＝1×1×1×1×2×6＝12
ついでに
1＋1＋1＋1＋1＋2＋7＝1×1×1×1×1×2×7＝14
１２３ の１と２の間にもうひとつ１をいれ最後の数字に１を足す。
つまり１１２４になる。
こうすると必ず×でも、＋でも、答えが同じになる。
次に１１２４ の１と２の間にもうひとつ１をいれ最後の数字に１を足す。
さっきと同じように必ず×でも、＋でも、答えが同じになる。
こうすれば無限につくれる。