◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
言い換えれば、２以上１９９８未満の整数で、１９９８と互いに素な数はいくつかという問題ですね。
しかも、（１９９８÷２＝）９９９以降は左右対称になるので、９９９までを調べます。
１９９８＝２×３×３×３×３７です。
１から９９９のうちで、
２の倍数は４９９個、３の倍数は３３３個、６（２×３）の倍数は１６６個
３７の倍数は２７個、
７４（２×３７）の倍数は１３個、
１１１（３×３７）の倍数は９個
２２２（２×３×３７）の倍数は４個
よって、１９９８と１以外の約数を持つ数は、
４９９＋３３３＋２７−１６６−１３−９＋４＝６７５
９９９−６７５＝３２４
あと、１も対象外なので、３２４−１＝３２３
答え ３２３通り
５角形だとうまく星が描けるのに、６角形だと一筆では描けない。
そういう経験をした人も多いと思います。
【コメント】
今、プログラムを作ろうと思っているのですが、どういう画面構成にするか悩んでいます。
◆石川県 Takashiさんからの解答。
正Ｎ角形の頂点を(ｎ−１)個づつ飛ばして線を引いていく。
【Ｎ,ｎは自然数、Ｎ＞２、ｎ＜Ｎ÷２】
・今Ｎとｎの最大公約数をａとしてａ＞１と仮定すると、
Ｎ＝ａＭ,ｎ＝ａｍ【Ｍ,ｍは互いに素な自然数】
Ｍをｍで割ったときの商をｂ、余りをｃとすると、
Ｍ＝ｂｍ＋ｃ、Ｎ＝ｂｎ＋ａｃ
この時Ｎ角形に線を引いていくと、ｂ回線を引くと元の頂点のａ･ｃ個手前の頂点にくる。
このまま何周かすると元の頂点に到達するのだが、そのとき通ってきた頂点は元の頂点から数えて、ａの整数倍の頂点のみである。
【頂点の飛ばし方ｎも一周あたりのずれａ･ｃもともにａの倍数だから】
よって、Ｎ角形の全ての頂点を通れない。
Ｎ角形の全ての点を通るためには、Ｎとｎは互いに素である。
今、Ｎ＝１９９８を素因数分解すると、Ｎ＝２×３3×３７となるので、ｎは(２,３,３７)で割り切れない数字である。
ｎ＜Ｎ÷２より、１≦ｎ≦９９９
１〜９９９の中で、
２の倍数は ４９９個
３の倍数は ３３３個
３７の倍数は ２７個 これらを引いて、
重複して引いた分、
６の倍数は １６６個
７４の倍数は １３個
１１１の倍数は ９個 これらを足して、
重複して足した分、
２２２の倍数は ４個 これを引いて、
ｎの種類は、９９９−(４９９＋３３３＋２７)＋(１６６＋１３＋９)−４＝３２４
≪答≫ ３２４種類
【コメント】
ヨッシーさんからも指摘がありましたが、（または辺）とあるので３２４種類が正しいようです。
なお、水の流れさんは、１９９８と互いに素な数の個数をオイラーの関数で、
| 1998(1- | 1 ― 2 | )(1- | 1 ― 3 | )(1- | 1 ―― 37 | )=648 |