◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１解答】
１回戦
(1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)
２回戦
(1,5,9,13),(2,6,10,14),(3,7,11,15),(4,8,12,16)
３回戦
(1,6,11,16),(2,5,12,15),(3,8,9,14),(4,7,10,13)
４回戦
(1,7,12,14),(2,8,11,13),(3,5,10,16),(4,6,9,15)
５回戦
(1,8,10,15),(2,7,9,16),(3,6,12,13),(4,5,11,14)
【問題２解答】
問題２の題意に合っているかどうかはわかりませんが、問題１は「もし自分がプログラムで求めるのなら次のように考える」ということで求めました。
(1)16人いるので16個のスイッチを16人分用意する。
○○○○○○○○○○○○○○○○
(2)まず左から自分自身の番号は塗りつぶす。
たとえば3の人ならば、
○○●○○○○○○○○○○○○○
というようにします。
(3)16×16のスイッチとして並べ、自分が横の列とし、相手が縦の列とする。
最初(1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)という組み合わせからスタートして何回戦目で対戦したかの数字を対戦相手のところへすべて書きこむ。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| 1 | ● | @ | @ | @ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 2 | @ | ● | @ | @ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 3 | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 4 | @ | @ | @ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 5 | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | @ | @ | @ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| ・ ・ ・ | ||||||||||||||||
| 15 | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | @ | @ | ● | @ |
| 16 | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | @ | @ | @ | ● |
(4)次に(1,5,9,13),(2,6,10,14),(3,7,11,15),(4,8,12,16)というように上記3.の組み合わせの先頭のものを選び、同様に記入する。
これで２回戦はおわり。
(ここらあたりまではなんということはなくごく普通です。)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| 1 | ● | @ | @ | @ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ |
| 2 | @ | ● | @ | @ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ |
| 3 | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ |
| 4 | @ | @ | @ | ● | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A |
| 5 | A | ○ | ○ | ○ | ● | @ | @ | @ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| 15 | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | @ | @ | ● | @ |
| 16 | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | @ | @ | @ | ● |
(5)ここからが問題(重要)ですが、1のよこの列で最初にあいているところを探すと6の位置が○となって空いているのでここをとりあえずBとする。
要するに1と6が対戦する。
(対象となるところに△を書くとわかりやすい。)
| △1 | 2 | 3 | 4 | 5 | △6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| △1 | ● | @ | @ | @ | A | B | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ |
| 2 | @ | ● | @ | @ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ |
| 3 | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △6 | B | A | ○ | ○ | @ | ● | @ | @ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | C | B |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
(6)さらに6のよこの列で空いていてかつ1のよこの列で空いているところを探すと
(たてに串刺ししてみるような感じで)
11の位置が○となって空いているのでここもBとする。
要するに1と6と11が対戦する。
| △1 | 2 | 3 | 4 | 5 | △6 | 7 | 8 | 9 | 10 | △11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| △1 | ● | @ | @ | @ | A | B | ○ | ○ | A | ○ | B | ○ | A | ○ | ○ | ○ |
| 2 | @ | ● | @ | @ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ |
| 3 | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △6 | B | A | ○ | ○ | @ | ● | @ | @ | ○ | A | B | ○ | ○ | A | C | B |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △11 | B | ○ | A | ○ | ○ | B | A | ○ | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
(7)さらに11のよこの列で空いていてかつ1のよこの列で空いてかつ6のよこの列で空いているところを探すと
(たてに串刺ししてみるような感じで)
16の位置が○となって空いているのでここもBとする。
要するに1と6と11と16が対戦する。(これで３回戦の１組めが決まる。)
| △1 | 2 | 3 | 4 | 5 | △6 | 7 | 8 | 9 | 10 | △11 | 12 | 13 | 14 | 15 | △16 | |
| △1 | ● | @ | @ | @ | A | B | ○ | ○ | A | ○ | B | ○ | A | ○ | ○ | ○ |
| 2 | @ | ● | @ | @ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ |
| 3 | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ | ○ | ○ | A | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △6 | B | A | ○ | ○ | @ | ● | @ | @ | ○ | A | B | ○ | ○ | A | C | B |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △11 | B | ○ | A | ○ | ○ | B | A | ○ | @ | @ | ● | @ | ○ | ○ | A | ○ |
| ・ ・ | ||||||||||||||||
| △16 | B | ○ | ○ | A | ○ | B | ○ | A | ○ | ○ | B | A | @ | @ | @ | ● |
(8)以下同様にして2〜4のよこの列に繰り返し４回戦まで操作を行う
(最後の５回戦は自動的に決まるので)
と、5〜16の結果が自動的に得られます。
(最終結果)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| 1 | ● | @ | @ | @ | A | B | C | D | A | D | B | C | A | C | D | B |
| 2 | @ | ● | @ | @ | B | A | D | C | D | A | C | B | C | A | B | D |
| 3 | @ | @ | ● | @ | C | D | A | B | B | C | A | D | D | B | A | C |
| 4 | @ | @ | @ | ● | D | C | B | A | C | B | D | A | B | D | C | A |
| 5 | A | B | C | D | ● | @ | @ | @ | A | C | D | B | A | D | B | C |
| 6 | B | A | D | C | @ | ● | @ | @ | C | A | B | D | D | A | C | B |
| 7 | C | D | A | B | @ | @ | ● | @ | D | B | A | C | B | C | A | D |
| 8 | D | C | B | A | @ | @ | @ | ● | B | D | C | A | C | B | D | A |
| 9 | A | D | B | C | A | C | D | B | ● | @ | @ | @ | A | B | C | D |
| 10 | D | A | C | B | C | A | B | D | @ | ● | @ | @ | B | A | D | C |
| 11 | B | C | A | D | D | B | A | C | @ | @ | ● | @ | C | D | A | B |
| 12 | C | B | D | A | B | D | C | A | @ | @ | @ | ● | D | C | B | A |
| 13 | A | C | D | B | A | D | B | C | A | B | C | D | ● | @ | @ | @ |
| 14 | C | A | B | D | D | A | C | B | B | A | D | C | @ | ● | @ | @ |
| 15 | D | B | A | C | B | C | A | D | C | D | A | B | @ | @ | ● | @ |
| 16 | B | D | C | A | C | B | D | A | D | C | B | A | @ | @ | @ | ● |
(感想)
時間はかかりますがこれなら確実に小学生でもできると思います。
特に難しいことは一切使用しておりませんので....。
どうも何かもっとうまい方法があるような気がするのですが....。
例えば、３回戦以降はすべて括弧の中の数字の和が34
(＝(1+2+3+・・・+16)/4)になっているのでこのことをうまく使えそうな気がします。
別解がわかりましたらまた送ります。
◆広島県 清川 育男 さんからのコメント。
感想
平田さんの作成された最終結果表を眺めていたら綺麗な規則性にきずきました。
1
1 1
1 1 1
2 3 4 5
3 2 1
4 2 1 1
5 2 1 1 1
2 5 3 4 2 4 5 3
5 2 4 2 1
3 2 5 2 1 1
4 2 3 2 1 1 1
2 4 5 3 2 5 3 4 2 3 4 5
4 2 5 2 3 2 1
5 2 3 2 4 2 1 1
3 2 4 2 4 2 1 1 1
４行４列の正方行列が６個あります。
行列の要素は２〜５。しかもラテン行列？になっています。
６個の行列は３種類である。
その構造は、
A
B C
C B A
となっています。
この構造を使えば作業が簡素化されるような気がします。
例えば
２４５３ ２３４５ ２５３４
４２３５ ３２５４ ５２４３
５３２４ ４５２３ ３４２５
３４５２ ５４３２ ４３５２
３個の４行４列の正方行列を使えば、
1) (1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)
2) (1,5,9,13),(2,6,10,14),(3,7,11,15),(4,8,12,16)
3) (1,8,10,15),(2,7,9,16),(3,6,12,13),(4,5,11,14)
4) (1,6,11,16),(2,5,12,15),(3,8,9,14),(4,7,10,13)
5) (1,7,12,14),(2,8,11,13),(3,5,10,16),(4,6,9,15)
上記のようになります。
「全部で何通りあるか？」という問題が出来ますね。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
(問題２解答別解)
手順１．
1〜16を4で割った余りで分類する。
(1,5,9,13),(2,6,10,14),(3,7,11,15),(4,8,12,16)・・・・(A)
手順２．
これを1つの正方形を4等分して順に書く。
| 正方形１ | 正方形２ | 正方形３ | 正方形４ |
| 1 5 9 13 | 2 6 10 14 | 3 7 11 15 | 4 8 12 16 |
上記のうち左上、右上、左下、右下でそれぞれまとめてグループとする。
(1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)・・・・(B)
手順３．
上記手順２．の状態より
正方形１を固定しておいて
正方形２を90度右へ
正方形３を180度右へ
正方形４を270度右へ回転する。
| 正方形１ | 正方形２ | 正方形３ | 正方形４ |
| 1 5 9 13 | 10 2 14 6 | 15 11 7 3 | 8 16 4 12 |
上記のうち左上、右上、左下、右下でそれぞれまとめてグループとする。
(1,10,15,8),(5,2,11,16),(9,14,7,4),(13,6,3,12)・・・・(C)
手順４．
上記手順２．の状態より
正方形１を固定しておいて
正方形２を180度右へ
正方形３を270度右へ
正方形４を90度右へ回転する。
| 正方形１ | 正方形２ | 正方形３ | 正方形４ |
| 1 5 9 13 | 14 10 6 2 | 7 15 3 11 | 12 4 16 8 |
上記のうち左上、右上、左下、右下でそれぞれまとめてグループとする。
(1,14,7,12),(5,10,15,4),(9,6,3,16),(13,2,11,8)・・・・(D)
手順５．
上記手順２．の状態より
正方形１を固定しておいて
正方形２を270度右へ
正方形３を90度右へ
正方形４を180度右へ回転する。
| 正方形１ | 正方形２ | 正方形３ | 正方形４ |
| 1 5 9 13 | 6 14 2 10 | 11 3 15 7 | 16 12 8 4 |
上記のうち左上、右上、左下、右下でそれぞれまとめてグループとする。
(1,6,11,16),(5,14,3,12),(9,2,15,8),(13,10,7,4)・・・・(E)
上記、(A)〜(E)が求める１回戦から５回戦の組み合わせです。
(感想)
前回の解答よりもこの方がシンプルで断然分かり易いと思います。
何せ決めるのに時間がほとんどかかりませんので.....。
昨日青木先生より「幾何学的に解決できる」というヒントをもらいましたので最初正四面体でも考えてみましたが、難しくこのようになりました。
幾何学的なので何か回転させればできるのではないかと考えたところ、ひとつを固定しておいて残りをうまく回転させてやれば(回転が重ならないようにしてやれば)できることに気がつきました。
◆山口県の中学校３年生 花田 謙太郎 さんからの解答。
【問題１】
まず、始めは、１２３・・・と、順番にします。
１回戦目Ａ １．２．３．４
Ｂ ５．６．７．８
Ｃ ９．１０．１１．１２
Ｄ １３．１４．１５．１６
次は、１・５・９・１３と、１回戦目の表の縦の人とします。
２回戦目Ａ １．５．９．１３
Ｂ ２．６．１０．１４
Ｃ ３．７．１１．１５
Ｄ ４．８．１２．１６
次は、１・６・１１・１６と２回戦目の表のナナメの人と、残りの８人を結ぶと、ひし形ができ、その向かい合う辺の人同士でします。
３回戦目Ａ １．６．１１．１６
Ｂ ４．７．１０．１３
Ｃ ２．５．１２．１５
Ｄ ３．８．９．１４
次も、同じく、４回戦目Ａ １．７．１２．１４
Ｂ ３．５．１０．１６
Ｃ ４．６．９．１５
Ｄ ２．８．１１．１３
最後は、やってない人同士でします。
５回戦目Ａ １．８．１０．１５
Ｂ ２．７．９．１６
Ｃ ３．６．１２．１３
Ｄ ４．５．１１．１４
と、なります。
【コメント】
平田さんと微妙に組み合わせが違いますが、これも正解です。