◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
与えられた自然数をＫとする。
ただし Ｋ≠２L
ＬはＬ≧０の整数とする。
最初の数をＭ
最後の数をＭ＋Ｎ−１ とする。
またＮは１より大きい整数、
Ｍは整数（０，負の整数も含む）とする。
ガウスの方法により、
（２Ｍ＋Ｎ−１）Ｎ＝２Ｋ
| Ｍ＝ |
Ｋ ―― Ｎ | − |
Ｎ ―― ２ | ＋ |
１ ―― ２ | ．．．（１） |
Ｍが整数であるためには
Ｎ ｜ Ｋ（ＮはＫを割り切る。）。
ＮはＮ≠１でかつ奇数であればよい。
しかし、問題はＭは自然数のときであるから、Ｍが負の整数のときは、０を挟んで負の部分と正の部分を
Ｎ＞｜Ｍ｜であるから相殺すれば題意を満たす。
したがって仮説は成り立つ。
例えばＫ＝９９＝３×３×１１
１を除いた約数は３，９，１１，３３，９９の５個である。
（１）式から
Ｎ＝３のとき Ｍ＝３２
３２＋３３＋３４＝９９
Ｎ＝９のとき Ｍ＝７
７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝９９Ｎ＝１１のとき Ｍ＝４
Ｎ＝３３のとき Ｍ＝−１３
（−１３）＋（−１２）＋・・・＋（−１）＋０＋１＋２＋３＋・・・１３＋１４＋・・＋１９ ＝１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９とする。
Ｎ＝９９のとき Ｍ＝−４８
（−４８）＋（−４７）・・・＋０＋１＋２＋・・＋４８＋４９＋５０ ＝４９＋５０とする。
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答はこちらです。
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答
仮説が正しいことを示します。
証明. 正の整数nが、初項aの連続するr個の正の整数の和として表されるとすると、
(1) n＝a＋(a＋1)＋...＋(a＋r−1)＝r(2a＋r−1)/2.そこで、
Pn＝{(a,r)|a,rは正の整数で、2n＝r(2a＋r−1)}と定義し（r＝1の場合を含むことに注意）、さて、(a,r)∈Pnに対して、
(2a＋r−1)−r＝2a−1は奇数であるから、
r,2a＋r−1の一方は奇数、他方は偶数である。
d＝f(a,r)をこの奇数とすれば、dは2nの約数、したがって、nの約数である。
よって、fはPnからDnへの写像となる。
逆に、d∈Dnに対して、
{x,y}＝{d,2n/d} (x≦y)とおけば、x,yの一方は奇数、他方は偶数である。
そこで、
(a,r)＝g(d)＝((y−x＋1)/2,x)とおけば、a,rは正の整数で、
r(2a＋r−1)＝xy＝2n.
よって、gはDnからPnへの写像となる。
そして、定義よりf,gは互いに逆写像であるので、f,gは全単射である。したがって、
#Pn＝#Dn.
以上より仮説が証明された。□
なお、x＝2(a＋r)−1, y＝2a−1とおくことにより、Pnは次の集合とも対等であることがわかります。
Xn＝{(x,y)|x,yは（正の）奇数で、n＝(x2−y2)/8}.