◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
１９１，２００
１９１＋１＋９＋１＝２０２
２００＋２＋０＋０＝２０２
答え 例２０２、存在する。
とりあえず報告します。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
９９９９９９９９９９９９９ ＋） ９９ ――――――――――――――――― １０００００００００００９８ １０００００００００００９８ ＋） ９ ――――――――――――――――― １００００００００００１０７ １） ９９９９９９９９９９９９９＋９×１３ ＝１００００００００００１１６ ２） １０００００００００００９８＋９×２ ＝１００００００００００１１６ ３） １００００００００００１０７＋９ ＝１００００００００００１１６答 存在する。
とりあえず見つけました。
ｆの関数は９の剰余系に関係していることに着目しました。
もっと小さい数であるかどうかはわかりません。
この要領で問題３も解決出来そうです。
【コメント】
なんとも巧妙な解で、感心しました。
これ以外にもいろいろ構成できそうが、いざ見つけるとなると大変ですね。
◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
（解答；問題３まで一気にやります）
１）２種類の数のｘ＋ｆ（ｘ）の値が等しいものが１からみていって初めてでてくるのは
２）３種類が等しい
３）４種類が等しい
以上、大変分かりにくいですが。問題１，２，３の答えになります。
これは規則性を用いてはじき出したものであり、ちゃんと等しくなります。
問題４はちゃんとした解答ができませんが、「存在する」が答えだと思います。
◆飯田 孝久 さんからの解答。
問１
最小の解答は（９１，１００）です。
今年の西暦を入れたものは（１９９９，２０１７）です。
問２
清川さんの解の通りですが、表現を変えると
１０13−１、
１０13＋１０2−２、
１０13＋１０2＋１０−３です。
問３
ｋ＝1111111111124(=(1013-1)/9+13)としたとき、解の一つは
10k-1,
10k+1013-2,
10k+1013+102-3,
10k+1013+102+10-4 です。
この時、ａ＋ｆ（ａ）は10k+1013+115になります。
問４
ｎ＝１０までは作れますが、それ以上は今のところ不明です。
おそらく不可能だとは思いますが。
問４の解答
ａ（ｊ）を求める数。ｋ（ｉ）を正の整数とする。
a(1) =10k(1)-1 a(2) =10k(1)+10k(2)-2 a(3) =10k(1)+10k(2)+10k(3)-3 a(4) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)-4 a(5) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)-5 a(6) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)+10k(6)-6 a(7) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)+10k(6)+10k(7)-7 a(8) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)+10k(6)+10k(7)+10k(8)-8 a(9) =10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)+10k(6)+10k(7)+10k(8)+10k(9)-9 a(10)=10k(1)+10k(2)+10k(3)+10k(4)+10k(5)+10k(6)+10k(7)+10k(8)+10k(9)+10-10ここで k(i)=(10k(i+1)-1)/9+k(i+1) i=1,2,3,4,5,6,7,8
k(9)=2
です。添字が通常と逆ですが、解の表示の都合です。
k(1)は有限ですが天文学的数です。
この解を下のほうから一部取り出して、条件に関係ない範囲で定数を加えれば(引けば)問1,2,3の解になります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３】
@１１１１１１１１１１１２４桁の数（１が１１個） ９９９９９９９９．．．．．．．．．．．９９９９９９９９９９９９９ A１１１１１１１１１１１２５桁の数 １００００００００．．．．．．．．．．０９９９９９９９９９９９９８ B１１１１１１１１１１１２５桁の数 １００００００００．．．．．．．．．０１０００００００００００９７ C１１１１１１１１１１１２５桁の数 １００００００００．．．．．．．．．０１００００００００００１０６ １）@の数＋９×１１１１１１１１１１１２４（１が１１個） ＝１０００００．．．．．．．．．．．．０１００００００００００１１５ ２）Aの数＋９×１３ ＝１０００００．．．．．．．．．．．．０１００００００００００１１５ ３）Bの数＋９×２ ＝１０００００．．．．．．．．．．．．０１００００００００００１１５ ４）Cの数＋９×１ ＝１０００００．．．．．．．．．．．．０１００００００００００１１５問題２の要領でやっと見つけました。
【問題４】
感想
ＣＨEＣＫさんのアイデアを基本に飯田さんのべき乗の漸化式を合体すれば、一般式が完成出来そうですね。
結論とすれば正しいということですね。