◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
上段の３つの数字が決まれば、下段の３つの数字は必然的に決まります。
言い換えれば、自由度は３です。
したがって求めるパターンの数は、６個から３個をとる順列に等しい。
６×５×４＝１２０。
答え １２０通り
【問題２】
最も分散している、
| ４ | ５ | ６ |
| １ | ２ | ３ |
が１１回で初期状態に戻せるので、任意の状態は、最高で１１回で可能です。
答え １１回
試行錯誤で実験的な解答です。
たぶん６×２−１＝１１。
数学的には行列の積を使うのでしょうか？。
【コメント】
問題１の１２０通りは間違いないと思います。
問題２の方ですが、私もまだ数学的な方法を思いつきません。
| ４ | ５ | ６ |
| １ | ２ | ３ |
は、確かに１１回でできました。
更に多い例を作れた方はお知らせくださいね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題２】
１２０通りの半分の６０通り確認しました。
前半３個が上段、後半３個が下段の数字の列です。
１）１，２，３，４，５，６
２）１，２，４，３，６，５
３）１，２，５，６，４，３
４）１，２，６，５，３，４
５）１，３，２，５，４，６
６）１，３，４，６，５，２
７）１，３，５，２，６，４
８）１，３，６，４，２，５
９）１，４，２，６，３，５
１０）１，４，３，５，６，２
１１）１，４，５，３，２，６
１２）１，４，６，２，５，３
１３）１，５，２，４，６，３
１４）１，５，３，６，２，４
１５）１，５，４，２，３，６
１６）１，５，６，３，４，２
１７）１，６，２，３，５，４
１８）１，６，３，２，４，５
１９）１，６，４，５，２，３
２０）１，６，５，４，３，２
２１）２，１，３，４，６，５
２２）２，１，４，３，５，６
２３）２，１，５，６，３，４
２４）２，１，６，５，４，３
２５）２，３，１，６，４，５
２６）２，３，４，５，６，１
２７）２，３，５，４，１，６
２８）２，３，６，１，５，４
２９）２，４，１，５，３，６
３０）２，４，３，６，５，１
３１）２，４，５，１，６，３
３２）２，４，６，３，１，５
３３）２，５，１，３，６，４
３４）２，５，３，１，４，６
３５）２，５，４，６，１，３
３６）２，５，６，４，３，１
３７）２，６，１，４，５，３
３８）２，６，３，５，１，４
３９）２，６，４，１，３，５
４０）２，６，５，３，４，１
４１）３，１，２，５，６，４
４２）３，１，４，６，２，５
４３）３，１，５，２，４，６
４４）３，１，６，４，５，２
４５）３，２，１，６，５，４
４６）３，２，４，５，１，６
４７）３，２，５，４，６，１
４８）３，２，６，１，４，５
４９）３，４，１，２，６，５
５０）３，４，２，１，５，６
５１）３，４，５，６，１，２
５２）３，４，６，５，２，１
５３）３，５，１，４，２，６
５４）３，５，２，６，４，１
５５）３，５，４，１，６，２
５６）３，５，６，２，１，４
５７）３，６，１，５，４，２
５８）３，６，２，４，１，５
５９）３，６，４，２，５，１
６０）３，６，５，１，２，４
上記６０通りは０〜１１回で初期状態に戻せます。最高１１回。
行列の積（２，３）×（３，３）＝（２，３）で変換するのでしょうか？。
| Ａ11 | Ａ12 | Ａ13 |
| Ａ21 | Ａ22 | Ａ23 |
| Ａ31 | Ａ32 | Ａ33 |
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題２】
大分イメージがわきました。
時計をイメージします。
１２時が初期状態で任意の状態が何時に相当するかの問題に還元出来ると思います。
このイメージが正しければ、最高１１回で初期状態にもどせます。
◆東京都 藤本 さんからの解答。
【問題１】
１２０通り
【問題２】
９回
以下に すべての配置と 初期状態に戻すための手順を示します。
手順は
左のボタンを押す ：Ａ
右のボタンを押す ：Ｂ
とあらわしていて、かつ、右から順に施して行きます。
たとえば ＢＡＡ ならば、左のボタンを２回押して、右のボタンを １回です。1) 1 2 3 4 5 6
2) 2 5 3 1 4 6 A
3) 1 3 6 4 2 5 B
4) 5 4 3 2 1 6 AA
5) 3 2 6 1 4 5 BA
6) 2 3 6 1 5 4 AB
7) 1 6 5 4 3 2 BB
8) 4 1 3 5 2 6 AAA
9) 2 4 6 3 1 5 BAA
10) 3 5 6 2 1 4 ABA
11) 6 3 5 1 4 2 BBA
12) 5 3 6 2 4 1 AAB
13) 3 6 5 1 2 4 BAB
14) 2 6 4 1 3 5 ABB
15) 1 5 2 4 6 3 BBB
16) 4 1 6 2 3 5 BAAA
17) 5 1 6 3 2 4 ABAA
18) 3 4 5 6 1 2 BBAA
19) 3 4 6 5 2 1 AABA
20) 6 2 5 3 1 4 BABA
21) 6 3 4 2 1 5 ABBA
22) 5 6 2 1 4 3 BBBA
23) 4 3 6 5 1 2 AAAB
24) 2 6 5 3 4 1 BAAB
25) 3 6 4 2 5 1 ABAB
26) 6 5 2 1 3 4 BBAB
27) 5 6 1 2 3 4 AABB
28) 3 5 4 1 6 2 BABB
29) 2 4 5 1 6 3 ABBB
30) 1 2 6 5 3 4 ABAAA
31) 4 1 5 3 6 2 BBAAA
32) 4 2 6 3 5 1 AABAA
33) 2 1 5 6 3 4 BABAA
34) 3 1 4 6 2 5 ABBAA
35) 6 4 2 5 1 3 BBBAA
36) 3 1 6 4 5 2 AAABA
37) 6 4 5 2 3 1 BAABA
38) 6 5 4 3 2 1 ABABA
39) 5 3 2 6 1 4 BBABA
40) 6 3 1 5 2 4 AABBA
41) 5 6 4 3 1 2 BABBA
42) 4 6 5 2 1 3 ABBBA
43) 3 5 2 6 4 1 BBAAB
44) 3 6 1 5 4 2 AABAB
45) 5 2 3 1 6 4 BBBAB
46) 4 6 2 5 3 1 AAABB
47) 2 5 1 3 6 4 BAABB
48) 3 4 1 2 6 5 ABABB
49) 6 2 4 1 5 3 BBABB
50) 5 1 4 2 6 3 AABBB
51) 3 4 2 1 5 6 BABBB
52) 2 5 6 4 3 1 AABAAA
53) 1 3 5 2 6 4 BABAAA
54) 1 2 4 3 6 5 ABBAAA
55) 4 1 2 6 5 3 BBBAAA
56) 1 5 6 3 4 2 AAABAA
57) 4 3 5 6 2 1 BAABAA
58) 5 2 4 6 3 1 ABABAA
59) 3 1 2 5 6 4 BBABAA
60) 3 2 1 6 5 4 AABBAA
61) 6 1 4 5 3 2 BABBAA
62) 6 1 5 4 2 3 ABBBAA
63) 5 4 2 3 6 1 BBAABA
64) 6 4 1 3 5 2 AABABA
65) 2 6 3 5 1 4 BBBABA
66) 6 3 2 4 5 1 AAABBA
67) 4 6 1 3 2 5 ABABBA
68) 2 5 4 6 1 3 BBABBA
69) 1 6 4 5 2 3 AABBBA
70) 4 5 2 3 1 6 BABBBA
71) 6 2 3 5 4 1 BBBAAB
72) 3 6 2 4 1 5 AAABAB
73) 6 5 1 2 4 3 BAABAB
74) 4 5 3 2 6 1 ABBBAB
75) 5 3 4 1 2 6 BBBABB
76) 4 2 1 5 6 3 AAABBB
77) 2 1 4 3 5 6 BAABBB
78) 3 1 5 2 4 6 ABABBB
79) 6 4 3 1 2 5 BBABBB
80) 5 4 6 1 3 2 AAABAAA
81) 3 2 5 4 6 1 BAABAAA
82) 2 3 4 5 6 1 ABABAAA
83) 1 6 2 3 5 4 BBABAAA
84) 1 3 4 6 5 2 BABBAAA
85) 1 2 5 6 4 3 ABBBAAA
86) 4 5 1 6 3 2 AABABAA
87) 6 1 3 2 5 4 BBBABAA
88) 6 2 1 4 3 5 ABABBAA
89) 5 1 2 4 3 6 BABBBAA
90) 2 4 3 6 5 1 BBBAABA
91) 6 1 2 3 4 5 AAABABA
92) 5 4 1 6 2 3 BAABABA
93) 5 6 3 4 2 1 ABBBABA
94) 3 2 4 5 1 6 BBBABBA
95) 2 6 1 4 5 3 AAABBBA
96) 1 5 4 2 3 6 BAABBBA
97) 1 4 5 3 2 6 ABABBBA
98) 4 2 3 6 1 5 BBABBBA
99) 6 5 3 4 1 2 ABBBAAB
100) 5 2 1 3 4 6 BBAABAB
101) 1 4 3 5 6 2 AABBBAB
102) 4 3 1 2 5 6 ABBBABB
103) 5 3 1 4 6 2 AABABAAA
104) 1 5 3 6 2 4 BBBABAAA
105) 2 3 1 6 4 5 ABABBAAA
106) 1 3 2 5 4 6 BABBBAAA
107) 1 4 2 6 3 5 AAABABAA
108) 4 2 5 1 3 6 ABABBBAA
109) 2 1 3 4 6 5 BBABBBAA
110) 5 1 3 6 4 2 ABBBAABA
111) 2 4 1 5 3 6 BBAABABA
112) 4 6 3 1 5 2 AABBBABA
113) 3 5 1 4 2 6 ABBBABBA
114) 5 2 6 4 1 3 BABBBAAB
115) 1 4 6 2 5 3 BAABBBAB
116) 4 3 2 1 6 5 AAABABAAA
117) 2 3 5 4 1 6 ABABBBAAA
118) 1 6 3 2 4 5 BBABBBAAA
119) 2 1 6 5 4 3 BABBBAABA
120) 4 5 6 1 2 3 BAABBBABA
【問題３】
これは難しいです。
パターンの数は
(m+1)(n+1)Ｐ(m+1)(n+1)-4×４
（Ｐは 順列 を表します）
ぐらいが予想されますが、どうでしょうか？
初期状態にもどす手数は予想もつきません。
◆東京都 齊藤 高明 さんからの解答。
問題3の、m行n列の場合のパターン数についてです。
まず、 (m,n) = (2,2) の場合について考えます。
1 2 3 A B 4 5 6 C D 7 8 9BBBCCCBAC の順序で、 1 と 2 を入れ替えることができます。
この入れ替え操作を利用すると、証明は省きますが明らかに、各ナンバーを任意の場所に配置できます。
よって、パターン数は 9! = 362880 です。
次に、 (m,n) = (1,3) の場合について考えます。
1 2 3 4 A B C 5 6 7 8これも BBABCBAAACBCBBC で、 1 と 2 を入れ替えることができ、従って各ナンバーを任意の場所に配置できます。
よって、パターン数は 8! = 40320 です。
(m,n) = (3,1) の場合も (1,3) の場合と同様です。
最後に、一般の (m,n) について考えます。
(m,n) が (1,1), (1,2), (2,1) 以外の場合は、部分として(2,2), (1,3), (3,1) のどれかを必ず含んでいますから、 その部分部分で上記の入れ替え操作を行うことで、各ナンバーを任意の場所に配置できます。
よってパターン数は ((m+1)(n+1))! です。
まとめますと、パターン数は、 (m,n) が