◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
決闘者の方針 自分の番のときまだ相手が２人いる場合は命中率の高い方を狙うとする。
計算にあたっては、等比数列の和の極限値を使いました。
１）ゴルゴ、コブラ、ハリーの順のとき
ゴルゴ ０．５，コブラ ０，ハリー ０．５。
２）ゴルゴ、ハリー、コブラ
ゴルゴ ０．５，コブラ ０，ハリー ０．５。
３）コブラ、ゴルゴ、ハリー
ゴルゴ ０．２×０．５＝０．１
コブラ
０．８×０．５×０．８×（１０／９）
＝１６／４５
ハリー
０．２×０．５＋０．８×０．５×（１０／９）
＝４９／９０
４）コブラ、ハリー、ゴルゴ
ゴルゴ １／２０
コブラ ４／９
ハリー ９１／１８０
５）ハリー、ゴルゴ、コブラ
ゴルゴ １／４
コブラ ４／９
ハリー １１／３６
６）ハリー、コブラ、ゴルゴ
ゴルゴ １／２０
コブラ ２８／４５
ハリー ５９／１８０
どの順番になるかわからないので、
●ゴルゴ
（１／２＋１／２＋１／１０＋１／２０＋１／４＋／２０）／６●コブラ
＝２９／１２０
（０＋０＋１６／４５＋４／９＋４／９＋２８／４５）／６●ハリー
＝１４／４５
（１／２＋１／２＋４９／９０＋９１／１８０＋１１／３６＋５９／１８０）／６ ＝１６１／３６０
２９／１２０＋１４／４５＋１６１／３６０ ＝（８７＋１１２＋１６１）／３６０ ＝１ゴルゴ ８７／３６０
方針に従えば、上記の結果（計算に間違いがなければ）になりました。
出題者の意図もこの結果を言いたかったのでしょうか？。
それにしても計算に疲れました。
◆千葉県 yoshiki さんからの解答。
相手の狙い方にまずルールがあって、自分が生き残る可能性が高くなるように狙うはずだから。
・三人とも生き残っている状態のとき
@ゴルゴは必ずコブラを狙う。
Aコブラとハリーは必ずゴルゴを狙う。
状態ごとの3人の生き残る確率を計算すると
・状態１ ゴルゴがコブラを殺したとき
ゴルゴ…１／２
コブラ…０
ハリー…１／２
・状態２ ゴルゴが死んでコブラがハリーを狙うとき
ハリーが（２ｎ−１）回後に死ぬ確率は
(1/10)n・4/5なのでコブラが生き残る確率は
(4/5)/(1-1/10)=8/9。だから
ゴルゴ…０
コブラ…８／９
ハリー…１／９
・状態３ ゴルゴが死んでハリーがコブラを狙うとき
コブラが（２ｎ−１）回後に死ぬ確率は
(1/10)n・1/2なのでハリーが生き残る確率は
(1/2)/(1-1/10)=5/9。だから
ゴルゴ…０
コブラ…４／９
ハリー…５／９
それでは以下撃つ順番ごとの場合分けに入る。
（それぞれ１／６の確率である）
@ ゴルゴ，コブラ，ハリー
状態１より
ゴルゴ…１／２
コブラ…０
ハリー…１／２
A ゴルゴ，ハリー，コブラ
状態１より
ゴルゴ…１／２
コブラ…０
ハリー…１／２
B コブラ，ゴルゴ，ハリー
コブラはゴルゴを狙う。ここで分岐がおきる。
（１）1/5の確率で状態１
状態１より
ゴルゴ…１／10
コブラ…０
ハリー…１／10
（２）4/5の確率で状態３
状態３より
ゴルゴ…０
コブラ…16／45
ハリー…４／９
よってゴルゴ…１／10
コブラ…16／45
ハリー…49／90
C ハリー，ゴルゴ，コブラ
ハリーはゴルゴを狙う。ここで分岐がおきる。
（１）1/2の確率で状態１
状態１より
ゴルゴ…１／４
コブラ…０
ハリー…１／４
（２）1/2の確率で状態２
状態２より
ゴルゴ…０
コブラ…４／９
ハリー…１／18
よってゴルゴ…１／４
コブラ…４／９
ハリー…11／36
D コブラ，ハリー，ゴルゴ
コブラはゴルゴを狙う。ここで分岐が起きる。
（１）4/5の確率で状態３
状態3より
ゴルゴ…０
コブラ…16／45
ハリー…４／９
（２）1/5の確率でゴルゴが生き残る。
ハリーはゴルゴを狙うがここで分岐がおこる。
（2-1）1/2の確率で状態１
状態１より
ゴルゴ…１／20
コブラ…０
ハリー…１／20
（2-2）1/2の確率で状態２
状態２より
ゴルゴ…０
コブラ…4／45
ハリー…1／90
よってゴルゴ…１／20
コブラ…４／９
ハリー…91／180
E ハリー，コブラ，ゴルゴ
ハリーはゴルゴを狙う。ここで分岐が起きる。
（１）1/2の確率で状態２
状態２より
ゴルゴ…０
コブラ…４／９
ハリー…１／18
（２）1/2の確率でゴルゴが生き残る。
コブラはゴルゴを狙うがここで分岐がおこる。
（2-1）1/5の確率で状態１
状態１より
ゴルゴ…１／20
コブラ…０
ハリー…１／20
（2-2）4/5の確率で状態３
状態３より
ゴルゴ…０
コブラ…８／45
ハリー…２／９
よってゴルゴ…１／20
コブラ…28／45
ハリー…59／180
以上より
ゴルゴ
(1/2+1/2+1/10+1/20+1/4+1/20)/6
= 29/120
コブラ
(0+0+16/45+4/9+4/9+28/45)/6
= 14/45
ハリー
(1/2+1/2+49/90+91/180+11/36+59/180)
=161/360
＜感想＞
合っている自信のない答えが出てきてしまって送るべきかどうか悩む結果になりました。
しかし数学は正解よりも過程が大事なのであり、過程を多くの人に見てもらって自分の間違っている部分を指摘されるほうがよかろうと思い、送ることにしました。
この結果が正しいのならば命中率が高いほど死にやすい結果となる。
命中率が高いと狙われやすく、低いと狙われないからかな？
【出題者からのコメント】
数学的な計算としては２人とも合っていると思います。
で、ボクの意図としては、自分が生き残る確率を高めるために３人がどういう事を考えるかというと、ハリーがお二人の計算とは違うような、あることを考えるはず・・・・・・・・・
ということで、再度の（または別の人の）挑戦を待っています。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
ハリーがコブラを狙う場合を計算してみましたが、ハリーの生存の確率はあがりません。
ハリー、コブラの生存の確率がさがり、ゴルゴのそれがあがります。
何か盲点があるのでしょうか。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
生存のためには交渉がありうると言うことでしょうか。
腕に自信のある人は出来るだけ早い順番になりたいはずである。
ハリーはできるだけあとの方が生存の確率が高くなる。
ただし、ゴルゴ、ハリー、コブラ順番の場合は生存率が変わらない。
お互いに有利な取引きなので交渉は成立する。
その結果０．５以上の生存率が保障される。
１）ゴルゴ、コブラ、ハリー
２）コブラ、ゴルゴ、ハリー
１）、２）の順番にすることができるかもしれない。
出題の意図は交渉（取引）ということですか。
３人のゲームだと結託もありますね。
現実的な問題ですね。
数学的裏付けが必要ですが．．。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
取引と結果的な結託が許されるとする。
１）ゴルゴ、コブラ、ハリーの順のとき
ハリーに取引の材料がない。
ゴルゴ ０．５
コブラ ０
ハリー ０．５
２）ゴルゴ、ハリー、コブラの順のとき
ハリーに取引をするメリットがない。
ゴルゴ ０．５
コブラ ０
ハリー ０．５
３）コブラ、ゴルゴ、ハリーの順のとき
ハりーに取引の材料がない。
ゴルゴ ０．１
コブラ １６／４５
ハリー ４９／９０
４）コブラ、ハリー、ゴルゴの順のとき
ハリーがゴルゴに順番を変わる取引をする。
双方にメリットがあるので取引が成立。
コブラ、ゴルゴ、ハリーの順に変更
ゴルゴ ０．１
コブラ １６／４５
ハリー ４９／９０
５）ハリー、ゴルゴ、コブラの順のとき
ハりーがゴルゴに順番を変わる取引をする。
双方にメリットがあるので取引が成立。
ゴルゴ、ハリー、コブラの順に変更
ゴルゴ ０．５
コブラ ０
ハリー ０．５
６）ハリー、コブラ、ゴルゴの順のとき
ハリーがゴルゴに順番を変わる取引をする。
双方にメリットがあるので取引が成立。
ゴルゴ、コブラ、ハリーの順に変更
ゴルゴ ０．５
コブラ ０
ハリー ０．５
ゴルゴ
（０．５＋０．５＋０．１＋０．１＋０．５＋０．５）／６
＝１１／３０
コブラ
（０＋０＋１６／４５＋１６／４５＋０＋０）／６
＝１６／１３５
ハリー
（０．５＋０．５＋４９／９０＋４９／９０＋０．５＋０．５）／６
＝１３９／２７０
１１／３０＋１６／１３５＋１３９／２７０
＝（９９＋３２＋１３９）／２７０
＝１
ゴルゴ ９９／２７０
コブラ ３２／２７０
ハリー １３９／２７０
コブラが納得するであろうか。
決闘だから納得も何も関係ないか？
立ち会い人がハリーの行為を許すであろうか。
いずれにしても、命中率がもっとも低いハリーが生き残る確率が最も高い。
３人以上のゲームには取引と結託は必然ですかね。
現実の世界でも。
出題者の意図にかなっているのでしょうか。
自信がありません。
◆神奈川県 せいちゃん さんからの解答。
この問題を読んだときに考えた答えと寄せられた答えを見て思ったんですが、出題者の意思とは違うような気がする。
ゴルゴが１００％の命中率と書いてあるがそれは計算に使う、という意味ではないでしょうか。
コブラやハリーがゴルゴの命中率を知ってて決闘してるという条件とはどこにも書いてないので、誰がどのくらいの命中率かお互いに知らないでの生き残る確率を出題者は意図していると思います。
そもそもお互いの命中率を知ってたらハリーさんは決闘しないでしょう。
ハリーさんがとても頭の良い人で、寄せられた回答のように計算したら別ですが。
後は清川さんの出番です。
【コメント】
私は出題者ではないので自信はありませんが、たぶんそういう意味ではないと思います。
取引と結託もさすがにちょっと題意からはずれるのではないでしょうか。
>そもそもお互いの命中率を知ってたらハリーさんは決闘しないでしょう。
そういわれるとその通りですが (^_^;
◆飯田 孝久 さんからの解答。
清川さんとyosikiさんの解答には盲点があります。
ハリーの番では、故意にはずすという手があります。
こうすることで、ゴルゴとコブラに相手を狙わせることで、自分が生き残る確率を高くすることができます。
この場合の生き残る確率は、ゴルゴ、コブラ、ハリーの順に
(27/90,16/90,47/90)となります。
命中率よりも、狙われないことが生き残りの条件です。
【コメント】
以前、清川さんへのコメントにも、ちらっとにおわせておいたのですが、故意にはずすというのが出題者の意図ではないかと私も思いました。
yoshikiさんと清川さんの答えが出題者の意図に合わないと知ってようやく思いついたのですが。
ただし確率が正しいかどうかは確認していません。
どなたか検証してください。
【出題者からのコメント】
議論紛々していますね。
で、私の意図としましては、コメントの中で書かれていたように、ハリーは自分の番に故意にはずすということで正解です。
問題文の出し方がちょっと悪かったかも・・・
では、確率がどうなるかはまたみなさんで確認してください
（実は計算を書いた紙を無くしてしまって、正解を忘れてしまった）(^_^;)
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
・問題点１
「お互いの腕前を知らないのでは」と言うことにたいしては出題者のコメントにハリーの行動に対するに言及があるので、「お互いの腕前は知っている」と考えられます。
・問題点２
ハリーがわざとはずすと言うのは、確率の問題にそぐわないように思います。
結果的には同じことですが、トランプの場合のパスという表現がいいと思います。
問題１、問題２をもとにゴルゴ、コブラ、ハリーの決闘に対する方針を考えてみました。
●ゴルゴ、コブラの方針
自分の番のとき相手がまだ２人いる場合は、命中率の高い人を狙う。
●ハリーの方針
自分の番のとき相手がまだ２人いる場合、自分はパスして次の人に順番を譲る。
一見紳士的ではあるが実は打算的行動である。
●結果
ゴルゴ ３／１０＝２７／９０
コブラ ８／４５＝１６／９０
ハリー ４７／９０
ハリーの生存の確率の比較
前回の場合 １６１／３６０
今回の場合 １８８／３６０
今回の方がハリーの生存の確率は高くなる。
取引をした場合 ５５６／１０８０
今回の場合 ５６４／１０８０
今回の方がハリーの生存の確率は高くなる。
今度は、出題者の意図にかなっていると思います。
意味深い問題ですね。
【コメント】
確かに命中率を出しておいて、わざとはずすというのは違和感があります。
でも順序を決めているのにパスというのも？？？
地面めがけて発射！！と私は解釈していました。
その時も命中率は適用されると言う方もいるのでしょうが・・・。
でも問題の中に「わざとはずすこともあるとする」とは書けないしねぇ。
【出題者からのコメント】
飯田さん、清川さんの回答で正解です。
何人かの人が書いていたように、数学の問題としてはわざとはずすというのは邪道かもしれませんが、現実に即して考えるという点では、リアルでおもしろい問題じゃないかなと思っています。
たとえて言うと、２００円を持っていって３０円のチョコを買ったらお釣りをいくらもらう？ という問題と同じで、ペーパー上の計算と現実とは違う・・・というのがこの問題のポイントです。
【東京都 ＯＧＯＧさんからのコメント】
みなさんの議論を大変楽しく読ましてもらいました。
で、ここで余談。
「ハリーが意図的にはずす」という事象ですが、「パス」という行動をとらないで、あえて、撃ってはずすことを意図した場合、命中率が５０％ということは、はずすことを意図したにもかかわらず、数％の確率で命中してしまうことがありませんか？
う〜ん。
こんなヤツは決闘するな！って感じですが・・・
【コメント】
私はむしろ、意図的にはずそうとしても、問題に５０％とある限り命中率は５０％なのではないかと悩んでしまいます。
でもそこでつっこんでも仕方ないですし。。。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【追加問題解答】
１０人
【ルールと戦略設定】
両軍とも一定時間ごとに、全員が１発づつ敵軍ガンマンに狙いをつけて撃つとします。
１％ガンマンをＲ、１００％ガンマンをＪと呼ぶことにします。
また、ガンマンが一人でも残っていたほうが勝ちとします。
Ｒ軍の戦略は、同じＪ軍ガンマンを狙わないことです。
一方Ｒ軍の戦略としては、なるべく均等にＪ軍を狙うことです。
なぜなら、１ガンマンに１発あたっても２発あたってもＪ軍は１人の損害だからです。
【概略検討】
Ｊ軍ガンマン数をＮ人とします。
Ｒ軍１００人によるＪ軍損失の期待値はほぼ１人/発砲ですから、損失を無視するとＪ軍はＮ回目発砲まで持ちこたえられます。
一方Ｒ軍は１００／Ｎ回目発砲までです。
従って、拮抗する軍勢の関係は１００/Ｎ＝Ｎであり，
これよりＮ＝１０が得られます。
実際にはＲ軍は複数（１０人）でＪ軍ガンマンを狙うので、２発以上当たる場合もあり、その分期待値より損しているのでＮ＝１０ではＪ軍やや有利と考えられます。
【詳細検討】
漸化式を立てます。
ＷＪ（ＮＪ ，ＮＲ）をＪ軍ＮＪ人、Ｒ軍ＮＲ人での決闘時のＪ軍の勝率（引き分けを含まない勝つ確率）とします。
このとき
です。
すなわち Ｒ軍はＫ＋１人づつのＫ１個のグループとＫ人づつのＫ０個のグループの合計ＮＪ個のグループに分かれてそれぞれ異なるＪ軍のガンマンを狙います。
その結果 Ｋ＋１人のグループでｉ人、Ｋ人のグループでｊ人のＪ軍ガンマンに命中した場合の確率を合計して
ＷＪ（ＮＪ ，ＮＲ）の漸化式を得ています。
この漸化式は２次元の漸化式であり、表計算ソフトの得意とするところです。
計算結果の値（ＮＲ＝１００）とグラフを下表と下図に示します。
Ｎｊ＝１０人はかなりＪ軍が優勢ですが、９人ではかなり劣勢です。
Ｎｊ＝１４人いれば９９％Ｊ軍の勝ちです。
| Ｊ軍人数 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ｊ軍勝率 | 0.359134 | 0.588122 | 0.782351 | 0.905836 | 0.966515 | 0.990136 | 0.997574 |
【ＰＳ】
この問題は東郷平八郎にかかわる逸話として熟年には馴染みの話です。
『加藤友三郎という昔の海軍の軍人がいる．
日本海海戦の時の参謀長で，後にワシントン海軍軍縮会議全権や首相を務めた人物である．
加藤は「合理的思考」の持ち主として知られていたという．
あるとき，東郷平八郎司令長官が「百発百中の大砲一門は，百発一中の大砲百門に勝る」と訓示するのを聞いて，加藤は「百発一中の大砲の弾百発のうち，１つでも百発百中の大砲一門に当たったら，それで戦は終わりだ」と言ったと伝えられている』
『』内は浅野 晃さんのＨＰからの引用です。
全文は下記ＵＲＬへ
http://zakkan.racco.mikeneko.jp/010215gouri.html