◆東京都 Asami さんからの解答。
【おまけ】
| 1 m | − | 1 m+1 | ＝ | 1 m(m+1) |
ａ＝n+1,ｂ＝n(n+1)+1,ｃ＝{n(n+1)}{n(n+1)+1}
これからわかるように分数がいくつになっても帰納的に構成できます。
◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
【問題１】はもうしばらくかかりそうです。
【おまけ】から解答させていただきます。
ｎ＝１の時を考えると、
| １ ２ | ＋ | １ ３ | ＋ | １ ６ | ＝１ |
| ｎ＝ｋの時は１の時の両辺を | １ ｋ |
倍すればよい。 |
よって、
| ａ＝ | １ ２ｎ | ，ｂ＝ | １ ３ｎ | ，ｃ＝ | １ ４ｎ |
【感想】
この手の問題はこれで一発で解けるはず（？）
【問題１】はかなり条件を出したんですがまだ求まりません。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題】
とりあえず答えだけ
| 1 38 | + | 4 76 | + | 2 95 | ＝ | 1 10 |
【おまけ】
これで全てではないかも知れませんが、
ａ＝ｎ＋１
ｂ＝(ｎ＋１)2
ｃ＝ｎ(ｎ＋１)2
でどうでしょう。
考え方は、１枚のホットケーキを ｎ人で分けるのに、なぜか１回目に ｎ＋１等分したとします。
| １ ｎ＋１ | ずつ、ｎ人に分けます。 |
| 残り | １ ｎ＋１ | を ｎ等分すればいいものを、 |
| １ (ｎ＋１)2 | ずつ、ｎ人に分けます。 |
| そして、残りの | １ (ｎ＋１)2 | を ｎ等分すれば、出来上がりで、 |
| １ ｎ(ｎ＋１)2 | ずつ、ｎ人に分けます。 |
※ｎ＝１ の時は、考慮していません。
◆三重県 久保田 尚 さんからの解答。
| Ａ ＢＣ | ＋ | Ｄ ＥＦ | ＋ | Ｇ ＨＩ | ＝ | 1 10 |
このＢＣ＝Ｘ、ＥＦ＝Ｙ、ＨＩ＝Ｚと表すと（見にくいので）
| Ａ Ｘ | ＋ | Ｄ Ｙ | ＋ | Ｇ Ｚ | ＝ | 1 10 |
となる。ここで両辺に１０ＸＹＺをかけると
１０（ＡＹＺ＋ＢＺＸ＋ＣＸＹ）＝ＸＹＺ になる。
よって、ＸＹＺは１０の倍数ということがわかるのでどれか１つは１の位が５であることがわかる（０は無いので）。
そこで、分母を２５，３５，４５・・・としてチェックをしていくのだが、合計が１／１０となることより、分子に入る数は分母の１０の位より小さい数である。
| まず | １ ２５ |
と仮定すると、 |
| １ １０ | − | １ ２５ | ＝ | ３ ５０ | となる。 |
| 後は、 | １ １０ | − | １ ？５ | を計算して、 |
考えられるのは、
| １ １０ | − | １ ３５ | ＝ | １ １４ | 、 |
| １ １０ | − | ２ ４５ | ＝ | １ １８ | 、 |
| １ １０ | − | ４ ６５ | ＝ | １ ２６ | 、 |
| １ １０ | − | １ ８５ | ＝ | ３ ３４ | 、 |
| １ １０ | − | ６ ８５ | ＝ | １ ３４ | 、 |
| １ １０ | − | ２ ９５ | ＝ | ３ ３８ | 、 |
| １ １０ | − | ７ ９５ | ＝ | １ ３８ | 、 |
この中で該当するのは、
| ３ ３８ | ＝ | １ ３８ | ＋ | ４ ７６ |
よって、
| 1 38 | + | 2 95 | + | 4 76 | ＝ | 1 10 |
| ちなみに、右辺が | １ ５ | になる組み合わせは、 |
【感想】
この問題にどう取り組んでいいか最初はわからなくて途方に暮れたが、分母の１の位が５になるということを発見してからは楽にできた。
ほかにも似たような別問題が作れそうですね。
◆三重県 久保田 尚 さんからのコメント。
【おまけ問題】についてですが、実は自分の考えた答えは大森さんの回答と同じでした。
でも、ほかの見事な答えを出してくれた人もいて感心してしました。
工夫次第でもっとほかの回答もあるのかもしれませんね。
自分としてはほかに類似問題として
| １ ａ | ＋ | １ ｂ | ＋ | １ ｃ | ＋ | １ ｄ | ＝ | 1 ｎ |
という問題も考えたんだけど、先ほどの別解の考え方を押し進めれば簡単にできちゃいますね。
◆京都府 the king of water gate さんからの解答。
| ５ ３４ | ＋ | ７ ６８ | ＋ | ９ １２ | ＝ | １ １ |
| ３ ４８ | ＋ | ５ １６ | ＋ | ９ ７２ | ＝ | １ ２ |
| １ ９６ | ＋ | ５ ４８ | ＋ | ７ ３２ | ＝ | １ ３ |
| ２ １８ | ＋ | ５ ６３ | ＋ | ７ ４９ | ＝ | １ ３ |
| ２ １９ | ＋ | ４ ５７ | ＋ | ６ ３８ | ＝ | １ ３ |
| ３ ２７ | ＋ | ６ ５４ | ＋ | ９ ８１ | ＝ | １ ３ |
| １ ２６ | ＋ | ５ ３９ | ＋ | ７ ８４ | ＝ | １ ４ |
| １ ４８ | ＋ | ５ ３２ | ＋ | ７ ９６ | ＝ | １ ４ |
| １ ９６ | ＋ | ５ ３２ | ＋ | ７ ８４ | ＝ | １ ４ |
| ３ ５４ | ＋ | ６ ７２ | ＋ | ９ ８１ | ＝ | １ ４ |
| １ ２４ | ＋ | ３ ５６ | ＋ | ７ ９８ | ＝ | １ ６ |
| １ ３２ | ＋ | ５ ９６ | ＋ | ７ ８４ | ＝ | １ ６ |
| １ ５６ | ＋ | ３ ７２ | ＋ | ９ ８４ | ＝ | １ ６ |
| １ ３８ | ＋ | ２ ９５ | ＋ | ４ ７６ | ＝ | １ １０ |
がこの形の問題の全ての解です。