◆東京都 goya さんからの解答。
【問題１】
(1) ５ ２ ６
３ ４
１
(2) ４ １ ６
３ ５
２
(3) ５ ６ ２
１ ４
３
(4) ４ ６ １
２ ５
３
正解は上の４つ(左右反転したものを含めると８つ)だと思います。
問題２以降は何となく解無しのような気がします。
【コメント】
問題２以降は私も自信がありません。
解はあるような気がするのですが、どうでしょうか？
わかった方、教えてください。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
プログラムを組んでコンピュータに解かせました。
【問題１】
GOYAさんの解答に同じです。
【問題２】
解なし。
【問題３】
１３ ３ １５ １４ ６ ６ １４ １５ ３ １３
１０ １２ １ ８ ８ １ １２ １０
２ １１ ７ ７ １１ ２
９ ４ ４ ９
５ ５
【問題４】
もし解が存在するとすれば、最上段に２１があるはずです。
A B C D E F
かつA,B,Cのなかに２１がある解があるはずです。
しかしそのなかに解がないのでこの問題の解はなし。
Basicはインタプリタ型なのでBreakして途中の変数の値を見れるのがいいですね。
スピードは遅いが。
【コメント】
残念ながら、問題２はやはり解なしのようです。
問題３になると、解がでてくるのが面白いですね。
問題３はコンピュータなしで解けないものでしょうか？
◆新潟県 ぽぽぽ さんからの解答。
問２に関してです。
ただ適当に当てはめてたら解が見つかってしまいました。
なんとなく見つけたので、他にも解があるのかどうか検証してませんが、とりあえず解なしではないようです。
６ １０ １ ８
４ ９ ７
５ ２
３
【コメント】
なんと問題２に解が見つかってしまいました。
教えていただいてどうもありがとうございます。
ひょとして他にもあるのでしょうか。
楽しみです。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
間違っていました。
６ １ １０ ８ ６ １０ １ ８
５ ９ ２ ４ ９ ７
４ ７ ５ ２
３ ３
以上４通りあります。（左右対称を許せば８通り）
８ ３ １０ ９ ８ １０ ３ ９
５ ７ １ ２ ７ ６
２ ６ ５ １
４ ４
言い訳になりますがある予測があって手抜きをしていました。
◆兵庫県 ken8 さんからの解答。
【問題１】
６ １ ４
５ ３
２
【問題２】
８ １０ １ ６
２ ９ ５
７ ４
３
最大数が最上段にくることは間違いない
（ほかの数で引きようがない）
問題１と２においては最下段に入る数字は（段数−１）で辺に沿って１ずつ増やした数を入れて後は足し算で下から埋めていきました。
何の根拠もありません。
◆岐阜県の中学校３年生 さちえ さんからの解答。
【問題１】
６ ２ ５
４ ３
１
◆神奈川県 ココット さんからの解答。
【問題４】
存在しません。
(20段まではパソコンで確認しました)
６段以上では存在しないのですが、証明は苦労しました。
全部書くのは大変なので、途中まで書きます。
(1)各行で最大の数をつないだ「ライン」が存在する。
Ｎ段の数入れパズルを考える。
一番上の段以外のある数(Ａと置く)に注目したとき、その上の２つの数のうちどちらかはＡより大きくなる。
つまり、一番下の段から見ると、１段ごとに数が足されて大きくなっていく。
同じ数を使わないで、最上段までもっとも小さくなるようにする場合、
Ｎ−１段足していく間に、１からＮ−１までを１つずつ使うことになる。
その和は
Ｂ＋Ｎ（Ｎ−１）／２
となる。
Ｂを、足し算に使わなかった最小値であるＮとすると、上記の和は
Ｎ（Ｎ＋１）／２
となる。
これはＮ段の数入れパズルで使うことができる最大の数である。
(つまり、下から順に最小になるように足しても、最上段では最大値を使わなければならなくなる)
よって、最下段から最上段までに必ず１からＮまでの数が使われ、かつ各段での最大値をつなぐ(ぎざぎざの)「ライン」が存在する。
また、「ライン」上の値のどちらかの隣には１からＮのどれかが１つだけ存在する。
(2)証明
最終的には「根性で解く」ような形になるのですが、そのための説明です。
Ｎ段の数入れパズルで、１からＮまでの値をａ，ｂ，ｃ…とおく。
最下段から順に、ａ，ｂ，ｃ…と入れていく。
このとき、最大のラインが左に行くような形から順に考えていく。
例えば３段の場合で「ライン」が左に寄るようにすると、以下のようになる。
ａ，ｂ，ｃ…以外の値はＮより大きく、「ライン」の値よりも小さくなければならない。
これにより、３段目(最上段)の右上は c-b とはならずに b+c となる。
また、この時点でａ，ｂ，ｃには１から３までのどの数が入るかはわからないが、
(1)よりb+cは３(＝Ｎ)より大きくなる。
そして、この時点では(a,b,c)=(1,3,2)または(2,3,1)とすることで３段の解答が得られる。
同様に、５段で「ライン」が左に寄るようにすると、以下のようになる。
下から４段目の一番右は
b+2c+d ( =(b+c)+(c+d) )となっているが、これは引き算にしてしまうと
(c+d)-(b+c) = -b+d ＜ N
となってしまい、(1)の性質を満たさなくなってしまうためである。
最上段の右から２番目も同様である。
さて、ここで最上段の一番右(b+3c+3d+e)に注目する。
ここも引き算にしてしまうと
(c+2d+e)-(b+2c+d) = (d+e)-(b+c)
ここで
d+e＜2N … d,e＜Nより
b+c ＞ N … (1)より
であるので、
(d+e)-(b+c) ＜ N
となってしまい、(1)の性質を満たさなくなる。
また、
b+3c+3d+e = 2(c+d)+b+c+d+e＞a+b+c+d+e
となってしまうので、足し算にしてもうまくいかない。
よって、この形での５段は、a,b,c,d,eに(1)を満たすどのような数を入れても構成不可能である。
他のパターンについても考え方は同様であるが、手間がかかるのでここでは省略する。
◆神奈川県 ココット さんからのコメント。
このパズルで、６段以上は作成不可能である証明はないと思っていたのですが、20年以上も前に証明されていたことがわかりました。
マーチン・ガードナーの「数学ゲーム」発行が1977年なので、すぐに解けたということなのでしょうか…。
証明が載っている文献は
BULLETIN OF THE INSTITUTE OF MATHEMATICS ACADEMIA SINICA Volume 5, Number 1, June 1977 p191-197 タイトル：EXACT DIFFERENCE TRIANGLES 著者：G.J.CHANG, M.C.HU, K.W.LIH, A.C.SHIEHです。
幸い、言語が英語だったので、私のつたない英語力でもなんとか読むことができました。
証明のあらすじとしては、一般にn行(段)の三角形を考えたとき、1〜nまでの数字が各行で1度ずつ現れる。
各行で最大値の上限が存在する。
大きい方からn+1個までの数をbとすると、
bは、下からn-2行までは1個しか存在できない。
bは、上から2行目では2個までしか存在できない。
bは、最上段では (n+5)/3 個までしか存在できない。
u= n(n-1)/2-1 とすると、
uまたはb は、下からn-2行までは1個しか存在できない。
bが上から2行目で2個存在する場合、uは、上から2行目には存在しない。
uが最上段にある場合、bとは2つ以上離れている必要がある。
これらの条件から、証明をしていました。
しらみつぶしの検索などは使わず、スマートに解かれています。
◆東京都 kyopapa oyaji さんからの解答。
【問題２】
| ８ | １０ | ３ | ９ | |||
| ２ | ７ | ６ | ||||
| ５ | １ | |||||
| ４ |