Ａ＝３ｋ＋１のとき，
(３ｋ＋１)nを展開した項のうち，ｋの２次以上の項は，３を因数として２個以上もつから、９の倍数となる。
ｋの１次以下 ３ｎｋ＋１ を考えればよい。
ｎが６の倍数のとき，ｎ＝６ｍ（ｍは整数）と表せる。
３ｎｋ＋１＝１８ｍｋ＋１ となり，Ａを９で割った余りは １。
Ａ＝３ｋ−１のときも，同様にして，
−１８ｍｋ＋１ となり，Ａを９で割った余りは １。
【問題３】
剰余系の乗法の規則より，問題２の結果から，明らか。
P.S.
Ａが，２と５，４と７で逆並びになるのに対し，Ａ＝１，８の相棒が無いのが何故か気にいらない。
美しさに欠けると思いますが・・・。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
【問題２】
まず、６乗の時は・・・
Ａを３ｓ＋k（ｓは０以上の整数で、ｋは１または２）とすると
(3s+k)6 =1*(3s)6*k0+6*(3s)5*k1+15*(3s)4*k2+20*(3s)3*k3+15*(3s)2*k4+6*(3s)*k5+k6これをkについての６次式と考える。
k0〜k4までの項はいずれも係数に含まれる3sの累乗がすでに９で割りきれる。
k5の項も、係数の6*3s が９で割りきれる。
というわけで、問題はk6の項。
９で割りきれないことは明白。
では、９で割った時の余りは
ｋ＝１のとき 考えるまでもなく１
ｋ＝２のとき ２の６乗は６４だから１
とりあえず、ｎ＝６のときはこんな具合です。
そうすると、ｎが６の倍数だったときは、同様にｋについてのｎ次式を考えると、
k0〜kn-2までの項はいずれも係数に含まれる3sの累乗が９で割りきれる。
kn-1の項は、
係数の3s*nＣ2＝3s*n(n-1)が９で割りきれる。
（ｎは当然３の倍数でもあるから）
残るはknの項。
ｎが６の倍数ということは、knはk6の累乗。
ｋ＝１のときは、やはり考えるまでもなく９で割った余りは１。
ｋ＝２のとき、
kn = (k6)n/6 =64n/6=(63+1)n/6
ここでt = n/6 とすると、kn = (63+1)t
計算はしませんが、このまま展開すれば1tの「項」だけが９で割りきれず、割った余りが１になることは明白です。
結論：ｎが６の倍数のときはＭは必ず１になる！
【問題３】
Ａ＝９ａ＋ｂ（ａは０以上の整数、ｂは１以上８以下の整数）とおく。
また、問題２より、(9a+b)6n を９で割った余りは１になるから、
(9a+b)6n = 9c+1（ｃは０以上の整数）とおく。
すると
A6n+1
=(9a+b)6n+1
=(9a+b)(9a+b)6n
=(9a+b)(9c+1)
=9(9ac+a+bc)+b
これを９で割った余りはｂ。
つまり、Ａを９で割った余りと等しい。