◆広島県 清川 育男さんからの解答。
分母を素因数分解する。
３１８３１＝１３９×２２９
φ(１３９)＝１３９−１＝１３８＝２×３×２３
約数は、１，２，６，４６，６９，１３８
１０1≡１０(mod 139)
１０2≡１００(mod 139)
１０6≡３４(mod 139)
１０46
≡(１０6)7×１０4
≡３４7×１０4
≡３４3×３４4×１０4
≡３９３０4×１３３６３３６×１０4
≡１０６×１２９×１０4
≡５２×１０4
≡１(mod 139)
φ(２２９)＝２２９−１＝２２８＝２2×３×１９
約数は、
１，２，３，４，６，１２，１９，３８，５７，７６，１１４，２２８
１０1≡１０(mod 229)
１０2≡１００ (mod 229)
１０3≡８４(mod 229)
１０4≡１５３ (mod 229)
１０6
≡１０3×１０3
≡８４×８４
≡１８６ (mod 229)
１０12
≡１０6×１０6
≡１８６×１８６
≡１７ (mod 229)
１０19
≡１０×１８６×１７
≡１８ (mod 229)
１０38
≡１８×１８
≡９５(mod 229)
１０57
≡１８×９５
≡１０７(mod 229)
１０76
≡９５×９５
≡９４(mod 229)
１０114
≡１０7×１０7
≡２２８ (mod 229)
１０228
≡２２８×２２８
≡１ (mod 229)
１０46≡１(mod 139)
１０228≡１ (mod 228)
４６＜２２８であるから循環節の長さは２２８です。
答え ２２８
天才ガウス少年はどのようにして求めたのですか。
【コメント】
部分分数に分けたときの分子も計算して欲しかったのですが、まあ十分でしょう。
ただ解答は、最後の一行で間違えました。
すぐおわかりになると思います。
ガウス少年は、２００以下の素数を分母とする分数や、素数の累乗を分母とする分数について、その循環小数の表を作成していたそうですが、このような計算の工夫を駆使したものと思われます。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
間違っていました。
４６，２２８の最小公倍数を求めるべきでした。
５２４４。
答え ５２４４
【コメント】
今度はみごと正解です。
ガウスにとっては、数学的な計算は苦痛ではなく、娯楽だったそうですが、あやかりたいものです。