◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
図のように、６０度の角が上下方向に向いているものを数え、３倍します。
上の頂点から、左下、右下に伸びている辺の長さで、ｍ×ｎのように表します。
１辺ｔの正三角形では、ｔ≧ｍ＋ｎの平行四辺形が出来ます。
【問題１】１辺が３
１×１・・・３×（１＋２）＝９個
１×２・・・３×１ ＝３個
２×１・・・３×１ ＝３個 計１５個
【問題２】１辺が４
１×１・・・３×（１＋２＋３）＝１８個
１×２・・・３×（１＋２） ＝ ９個
１×３・・・３×１ ＝ ３個
２×１・・・３×（１＋２） ＝ ９個
２×２・・・３×１ ＝ ３個
３×１・・・３×１ ＝ ３個 計４５個
【問題３】１辺が５
１×１・・・３×（１＋２＋３＋４）＝３０個
１×２・・・３×（１＋２＋３） ＝１８個
１×３・・・３×（１＋２） ＝ ９個
１×４・・・３×１ ＝ ３個
２×１・・・３×（１＋２＋３） ＝１８個
２×２・・・３×（１＋２） ＝ ９個
２×３・・・３×１ ＝ ３個
３×１・・・３×（１＋２） ＝ ９個
３×２・・・３×１ ＝ ３個
４×１・・・３×１ ＝ ３個 計１０５個
【問題４】１辺がＮ
１辺がｋのときとｋ＋１の時を比較すると、
３×｛１＋(１＋２)＋(１＋２＋３)＋・・＋(１＋２＋３＋・・＋ｋ)｝個増えます。
つまり、１辺がｋの時の平行四辺形の個数をＳkとすると、
Ｓk+1−Ｓk
| ＝３× | k Σ m=1 | { | m Σ n=1 | ｎ} |
| ＝３× | k Σ m=1 | ｍ(ｍ＋１) ――――― ２ |
| ＝ | ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２) ――――――――― ２ |
Ｓ1＝０より、
ＳN
| ＝Ｓ1＋ | N-1 Σ m=1 | m(m+1)(m+2) ―――――――― ２ |
| ＝ | (Ｎ−１)Ｎ(Ｎ＋１)(Ｎ＋２) ――――――――――――― ８ |
| 計 | (Ｎ−１)Ｎ(Ｎ＋１)(Ｎ＋２) ――――――――――――― ８ | 個 |
【コメント】
この問題はそうとう難問かと思ったのですが、すばらしいです。
実は解答がこないのではないかとあきらめていました。
かなり美しい解だと思うのですが、どうでしょう。
◆広島県 清川 育男さんからのコメント。
実にスマートな解答で見惚れていましたが、そのうち以前、見た式に似ていることにきずきました。
「正三角形の個数」の問題です。
「正三角形の個数」のときはＮは石の個数で、「平行四辺形の個数」のときはＮは辺の個数ですから、（＋１の関係にあります。）単純に比較は出来ないですね。
しかし、分子がピッタリ一致していたものですから驚きました。
平行四辺形の個数をB(n)、正三角形の個数をＡ(n)とするとき、
Ｂ(n)＝３×Ａ(n-1)，ｎ≧２，Ａ(1)=１
やはり何か関係がありそうです。
出題の意図もこのことを踏まえておられるのでしょうね。
【コメント】
もちろん、それを考えての出題です・・・。といいたいのですが、最初に答えが一致することを見つけたのは単なる偶然です。
別々に考えていた問題の解が一致して、私も驚きました。
一応、両方ともオリジナルの問題なのですが、どこにでもありそうな問題ですから類題もあるかもしれません。
だれか関係を明解に示してくれないかなぁ。