『平成１１年問題 Part２』

『平成１１年問題 Part２』解答

◆大阪府　ＣＨＥＣＫ　さんからの解答。

弦の長さが２以下であるものが存在しないとする。

任意の一点から引ける弦のうち最も短いものはその隣の点に引いた弦である。

∴円上の点を
Ｐ₁，Ｐ₂，・・・，Ｐ₁₁とすると、

２２＜Ｐ₁Ｐ₂＋Ｐ₂Ｐ₃＋・・・＋Ｐ₁₁Ｐ₁＜円の周囲の長さ

ここで、円の周囲の長さは

２（１＋）πであり、

２(１＋)π＜２(１＋２．３)３．２＝２１．１２

これは上の不等式に矛盾

よって、必ず弦の長さが２であるものが存在する

（感想）

「鳩の巣箱」をまだよく知らないので背理法で示しました。

◆東京都　しんちー　さんからの解答。

円を10等分すると, 中心角36°の扇形に分かれる.

点は11個あるのだから「鳩の巣箱論法」(もしくは部屋割り論法)により, 周上に点が2個以上あるような扇形が存在する.

その扇形の上から2点を選び P₁, P₂ とし, 円の中心をOとする.
半径はとりあえず r とおく.

2線分 OP₁, OP₂ のなす角は 36°以下だから, 余弦定理より

(P₁P₂の長さ)² ≦ 2r²(1-cos36°)

右辺は

cos36°= 1+
―――――
４

を用いて計算すると 4 になる.

従って (P₁P₂の長さ)≦2

（証明終）

感想：円の半径がちょっと作為的なので気になりましたが, 答がきれいに出るとやっぱり気持ちいいですね.