◆東京都 You.O さん からの解答。
条件を満たす整数が前に述べたもの以外に存在しないことを示しておきたいと思います。
数式と整数条件で数学っぽく解いてもよいのですが、小学生っぽく筆算（覆面算）で解いてみたいと思います。
ただし下のように通常とは少し異なった規則で覆面算を行います。
１．それぞれの文字は０以上９以下の数字を表す。
２．整数の最上位にある文字は１以上９以下の文字を表す。
※３．Ｐは２以上９以下のある数字を表す。
４．同一の文字は同一の数字を表す。
※５．相異なる文字が表す数字は異なるとは限らない。
力わざではありますが、力わざというほど労力を要するものでもないと思います。
［０］条件を満たす整数の上１ケタと下１ケタについて次のような覆面算を考える。
Ｐ＝２のときＡ×Ｐ＜１０，１≦Ａ≦９よりＡ＝１，２，３，４のいずれかである。
ただし、Ｂ×２の一の位がＡであることから、Ａ＝２または４となる。
Ａ＝２とすると、Ｂ×２の一の位が２であるからＢ＝１または６。
一方、最上位についてＡ×Ｐ≦Ｂ＜（Ａ＋１）×Ｐ
すなわち４≦Ｂ＜６であるから、Ｂ＝４または５。
よって、Ｂにあてはまる適当な数字が存在しない。
すなわち、Ｐ＝２，Ａ＝２の場合はあり得ないことになる。
同様にして、Ａ＝４の場合も考えられないことがわかる。
Ｐ＝３のときＡ＝１，２，３のいずれかである。
ところが、上と同様にして、Ａ＝１，２，３のいずれの場合も考えられないことがわかる。
Ｐ＝４のときＡ＝１，２のいずれかであるが、Ｂ×４の１の位がＡであることから、Ａ＝２となる。
このとき、Ｂ×４の一の位が２であるからＢ＝３または８。
一方、最上位について８≦Ｂ＜１２かつ１≦Ｂ≦９であるから、Ｂ＝８または９。
よって、Ｐ＝４，Ａ＝２，Ｂ＝８のとき条件を満たす。
なお、上で○をつけた繰り上がりの数が０と３で異なるので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることはできない。
２８×４＝８２
したがって、このような形の２ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から２ケタ目および下から２ケタ目の数字の決め方は後述［２］の通りである。
Ｐ＝５，６，７，８，９のときＡ＝１となるが、このうちＢにあてはまる適当な数字が存在するのはＰ＝９のときで、このときＢ＝９となる。
なお、上で○をつけた繰り上がりの数が０と８で異なるので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることはできない。
１９×９＝９１
したがって、このような形の２ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
一方、いずれの場合についてもＡ≠Ｂであるため、１ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から２ケタ目および下から２ケタ目の数字の決め方は後述［１］の通りである。
［１］Ａ＝１，Ｂ＝９，Ｐ＝９のとき
次のような覆面算を考えることになる。
（１０＋Ｃ）×９＜１００でなければならないから、Ｃ＝０または１となる。
（ア）Ｃ＝０の場合
十の位について、９×Ｄ＋８の一の位が０であるから、９×Ｄの一の位は２となる。
よって、Ｄ＝８となる。
なお、Ｃ≠Ｄであるため、このような形の３ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
このとき、上から２ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が８でなければならない。
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも８なので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、４ケタの整数１０８９は条件を満たすことがわかる。
また、上から３ケタ目および下から３ケタ目の数字の決め方は後述［３］の通りである。
（イ）Ｃ＝１の場合
十の位について、９×Ｄ＋８の一の位が１であるから、９×Ｄの一の位は３となる。
よって、Ｄ＝７となる。ところが上２ケタについて、
９０＋Ｄ≧１１×９
が成り立たなければならないから、０≦Ｄ≦９よりＤ＝９。
ゆえに、Ｄにあてはまる適当な数字が存在しない。
すなわち、Ｃ＝１の場合はあり得ないことがわかる。
［２］Ａ＝２，Ｂ＝８，Ｐ＝４のとき
（２０＋Ｃ）×４＜９０でなければならないから、Ｃ＝０，１，２のいずれかとなる。
ところが、十の位について、４×Ｄ＋３の一の位がＣであるから、Ｃ＝１となる。
このとき、４×Ｄの一の位が８であるから、Ｄ＝２または７。
一方、上２ケタについて、
２１×４≦８０＋Ｄ＜２２×４
が成り立たなければならないから、４≦Ｄ＜８。
ゆえに、Ｄ＝７となる。
なお、Ｃ≠Ｄであるため、このような形の３ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
このとき、上から２ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が３でなければならない。
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも３なので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、４ケタの整数２１７８は条件を満たすことがわかる。
また、上から３ケタ目および下から３ケタ目の数字の決め方は後述［４］の通りである。
［３］Ａ＝１，Ｂ＝９，Ｃ＝０，Ｄ＝８，Ｐ＝９のとき
上から３ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が８であるので、
（Ｅ＋１）×９＞８０
でなければならない。
よって、Ｅ＝８または９。
（ア）Ｅ＝８の場合
百の位について、９×Ｆ＋８の一の位が８であるから、９×Ｆの一の位は０となる。
よって、Ｆ＝０となる。
なお、Ｅ≠Ｆであるため、このような形の５ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
このとき、上から３ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｆ）−Ｅ×９＝８
でなければならない。
上で○をつけた繰り上がりの数が８と０で異なるので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることはできない。
１０８０８９×９＝９８０８０１
したがって、このような形の６ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から４ケタ目および下から４ケタ目の数字の決め方は後述［５］の通りである。
（イ）Ｅ＝９の場合
百の位について、９×Ｆ＋８の一の位が９であるから、９×Ｆの一の位は１となる。
よって、Ｆ＝９となる。
このとき、上から３ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｆ）−Ｅ×９＝８
でなければならない。
なお、上で○をつけた数どうしが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、５ケタの整数１０９８９および６ケタの整数１０９９８９は条件を満たすことがわかる。
また、上から４ケタ目および下から４ケタ目の数字の決め方は後述［６］の通りである。
［４］Ａ＝２，Ｂ＝８，Ｃ＝１，Ｄ＝７，Ｐ＝４のとき
上から３ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が３であるので、
（Ｅ＋１）×４＞３０
でなければならない。
よって、Ｅ＝７，８，９のいずれかとなる。
ところが、百の位について、４×Ｆ＋３の一の位がＥであるから、Ｅ＝７または９。
（ア）Ｅ＝７の場合
百の位について、４×Ｆ＋３の一の位が７であるから、４×Ｆの一の位は４となる。
よって、Ｆ＝１または６。一方、上３ケタについて、
２１７×４≦８７０＋Ｆ＜２１８×４
が成り立たなければならないから、０≦Ｆ＜２。
ゆえにＦ＝１となる。
なお、Ｅ≠Ｆであるため、このような形の５ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
上で○をつけた繰り上がりの数が３と０で異なるので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることはできない。
２１７１７８×４＝８７１７１２
したがって、このような形の６ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から４ケタ目および下から４ケタ目の数字の決め方は後述［７］の通りである。
（イ）Ｅ＝９の場合
百の位について、４×Ｆ＋３の一の位が９であるから、４×Ｆの一の位は６となる。
よって、Ｆ＝４または９。一方、上３ケタについて、
２１９×４≦８７０＋Ｆ＜２２０×４
が成り立たなければならないから、６≦Ｆ≦９。
ゆえにＦ＝９となる。
なお、上で○をつけた数どうしが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、５ケタの整数２１９７８および６ケタの整数２１９９７８は条件を満たすことがわかる。
また、上から４ケタ目および下から４ケタ目の数字の決め方は後述［８］の通りである。
［５］Ａ＝１，Ｂ＝９，Ｃ＝０，Ｄ＝８，Ｅ＝８，Ｆ＝０，Ｐ＝９のとき
上から４ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が８であるので、
（Ｇ＋１）×９＞８０
でなければならない。
よって、Ｇ＝８または９。
（ア）Ｇ＝８の場合
千の位について、９×Ｈの一の位が８であるから、Ｈ＝２となる。
このとき、上から４ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｈ）−Ｇ×９＝１０
でなければならないが、繰り上がりの数は９以下であるので、このようなことはあり得ない。
したがって、このような形の整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
（イ）Ｇ＝９の場合
千の位について、９×Ｈの一の位が９であるから、Ｈ＝１となる。
なお、Ｇ≠Ｈであるため、このような形の７ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
このとき、上から４ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｈ）−Ｇ×９＝０
でなければならない。
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも０なので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、８ケタの整数１０８９１０８９は条件を満たすことがわかる。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は後述［９］の通りである。
［６］Ａ＝１，Ｂ＝９，Ｃ＝０，Ｄ＝８，Ｅ＝９，Ｆ＝９，Ｐ＝９のとき
上から４ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が８であるので、
（Ｇ＋１）×９＞８０
でなければならない。
よって、Ｇ＝８または９。
（ア）Ｇ＝８の場合
千の位について、９×Ｈ＋８の一の位が８であるから、９×Ｈの一の位は０となる。
よって、Ｈ＝０。
なお、Ｇ≠Ｈであるため、このような形の７ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
このとき、上から４ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｈ）−Ｇ×９＝８
でなければならない。
上で○をつけた繰り上がりの数が８と０で異なるので、このような形の８ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は［５］と同様になる。
（イ）Ｇ＝９の場合
千の位について、９×Ｈ＋８の一の位が９であるから、９×Ｈの一の位は１となる。
よって、Ｈ＝９。
このとき、上から４ケタ目について、１つ下の位からの繰り上がりの数が
（８０＋Ｈ）−Ｇ×９＝８
でなければならない。
なお、上の計算式を見てわかるように、７ケタの整数１０９９９８９および８ケタの整数１０９９９９８９は条件を満たす。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は［６］と同様になる。
［７］Ａ＝２，Ｂ＝８，Ｃ＝１，Ｄ＝７，Ｅ＝７，Ｆ＝１，Ｐ＝４のとき
上から４ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が３であるので、
（Ｇ＋１）×４＞３０
でなければならない。
よって、Ｇ＝７，８，９のいずれかとなる。
ところが、千の位について、４×Ｈの一の位がＧであるから、Ｇ＝８。
千の位について、４×Ｈの一の位が８であるから、Ｈ＝２または７となる。
一方、上４ケタについて、
２１７８×４≦８７１０＋Ｈ＜２１７９×４
が成り立たなければならないから、２≦Ｈ＜６。
ゆえにＨ＝２となる。
なお、Ｇ≠Ｈであるため、このような形の７ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも０なので、これらが重なるように上２ケタを移動させて、下のような計算を成り立たせることができる。
したがって、８ケタの整数２１７８２１７８は条件を満たすことがわかる。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は後述［１０］の通りである。
［８］Ａ＝２，Ｂ＝８，Ｃ＝１，Ｄ＝７，Ｅ＝９，Ｆ＝９，Ｐ＝４のとき
上から４ケタ目について、１つ上の位への繰り上がりの数が３であるので、
（Ｇ＋１）×４＞３０
でなければならない。
よって、Ｇ＝７，８，９のいずれかとなる。
ところが、千の位について、４×Ｈ＋３の一の位がＧであるから、Ｇ＝７または９。
（ア）Ｇ＝７の場合
千の位について、４×Ｈ＋３の一の位が７であるから、４×Ｈの一の位は４となる。
よって、Ｈ＝１または６。
一方、上４ケタについて、
２１９７×４≦８７９０＋Ｈ＜２１９８×４
が成り立たなければならないから、０≦Ｈ＜２。
ゆえにＨ＝１となる。
なお、Ｇ≠Ｈであるため、このような形の７ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
上で○をつけた繰り上がりの数が３と０で異なるので、このような形の８ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は［７］と同様になる。
（イ）Ｇ＝９の場合
千の位について、４×Ｈ＋３の一の位が９であるから、４×Ｈの一の位は６となる。
よって、Ｈ＝４または９。
一方、上４ケタについて、
２１９９×４≦８７９０＋Ｈ＜２２００×４
が成り立たなければならないから、６≦Ｈ≦９。
ゆえにＨ＝９となる。
なお、上の計算式を見てわかるように、７ケタの整数２１９９９７８および８ケタの整数２１９９９９７８は条件を満たす。
また、上から５ケタ目および下から５ケタ目の数字の決め方は［８］と同様になる。
［９］Ａ＝１，Ｂ＝９，Ｃ＝０，Ｄ＝８，Ｅ＝８，Ｆ＝０，Ｇ＝９，Ｈ＝１，Ｐ＝９のとき
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも０なので、次のような覆面算に還元できる。
（ア）Ｉ≠０の場合
この解答の冒頭で述べた［０］でＡ→Ｉ，Ｂ→Ｊ，Ｐ＝９とした場合に相当する。
したがって、Ｉ＝１，Ｊ＝９。
なお、Ｉ≠Ｊであるため、このような形の９ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
上で○をつけた繰り上がりの数が０と８で異なるので、このような形の１０ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から６ケタ目および下から６ケタ目の数字の決め方は［１］と同様になる。
（イ）Ｉ＝０の場合
一万の位について、９×Ｊの一の位が０であるから、Ｊ＝０となる。
なお、上の計算式を見てわかるように、９ケタの整数１０８９０１０８９および１０ケタの整数１０８９００１０８９は条件を満たす。
また、上から６ケタ目および下から６ケタ目の数字の決め方は［９］と同様になる。
［１０］Ａ＝２，Ｂ＝８，Ｃ＝１，Ｄ＝７，Ｅ＝７，Ｆ＝１，Ｇ＝８，Ｈ＝２，Ｐ＝４のとき
上で○をつけた繰り上がりの数がいずれも０なので、次のような覆面算に還元できる。
（ア）Ｉ≠０の場合
この解答の冒頭で述べた［０］でＡ→Ｉ，Ｂ→Ｊ，Ｐ＝４とした場合に相当する。
したがって、Ｉ＝２，Ｊ＝８。
なお、Ｉ≠Ｊであるため、このような形の９ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
上で○をつけた繰り上がりの数が０と３で異なるので、このような形の１０ケタの整数で条件を満たすものは存在しないことがわかる。
また、上から６ケタ目および下から６ケタ目の数字の決め方は［２］と同様になる。
（イ）Ｉ＝０の場合
一万の位について、４×Ｊの一の位が０であるから、Ｊ＝０または５。
ところが上５ケタについて、
２１７８０×４≦８７１２０＋Ｊ＜２１７８１×４
が成り立たなければならないから、０≦Ｊ＜４。
ゆえにＪ＝０となる。
なお、上の計算式を見てわかるように、９ケタの整数２１７８０２１７８および１０ケタの整数２１７８００２１７８は条件を満たす。
また、上から６ケタ目および下から６ケタ目の数字の決め方は［１０］と同様になる。
以上により、前にも述べたように次のことが証明された。
上２ケタが"１０"、下２ケタが"８９"でこれらの間のｍケタがすべて"９"であるような数字の並びを《Ａｍ》、
上２ケタが"２１"、下２ケタが"７８"でこれらの間のｎケタがすべて"９"であるような数字の並びを《Ｂｎ》、
"０"がｋケタ連続した数字の並びを《Ｏｋ》とし、これらを整数の構成単位の１種と考える。
このとき、９倍すると数字の並びが逆になる数は、
いくつかの構成単位《Ａｍ》と《Ｏｋ》からなり、
それらの構成単位の順序を逆にしてももとの順序と変わらないものに限られ、
４倍すると数字の並びが逆になる数は、
いくつかの構成単位《Ｂｎ》と《Ｏｋ》からなり、
それらの構成単位の順序を逆にしてももとの順序と変わらないものに限られる。
なぜなら、例えばＰ＝９の場合、最上位と最下位から順にそれぞれ下位、上位のケタへと数字を決めてゆくことにすると、その決め方には次のような順序があることがわかる
これを単純化すると、次のようになる。
上図の上半分および下の部分がそれぞれ、最上位部と最下位部に
同じ数字の並び《Ａｍ》および《Ｏｋ》を挿入することを表している。
Ｐ＝４の場合についても同様で、下図の上半分および下の部分がそれぞれ、最上位部と最下位部に
同じ数字の並び《Ｂｎ》および《Ｏｋ》を挿入することを表している。
