『モニック多項式』

『モニック多項式』解答

◆宮城県　アンパンマンさんからの解答。

e=偶数、o=奇数
b=e...eeo, f(b)=1

【問題１】

a=e...eeooo

f(a)=111, f(b)=1
f(f(a)*f(b))=111

【問題２，３，４】

a=e...eec
f(f(a)*f(b))=c

つまりcは自然数であれば２桁以上の自然数ａ，ｂは必ず存在する。

【コメント】

問題にミスがありました。
「ａ，ｂは２桁以上の自然数」を「ｆ(a)，f(b)は２桁以上の自然数」に訂正します。 (現在の問題文は訂正してあります。)

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

１１１(2)＝７(10)

７は素数であるから７＝１×７
１(2)＝１(10)
１１１(2)＝７(10)
１１１×１＝１１１(2)

f(a),f(b)は２桁以上であるから、存在しない。

【問題２】

１１１１(2)＝１５(10)＝３×５(10) １１×１０１＝１１１１
１１１０(2)＝１４(10)＝２×７(10) １０×１１１＝１１１０
１１０１(2)＝１３(10) 素数
１１００(2)＝１２(10)＝３×４(10) １１×１００＝１１００ 
１０１１(2)＝１１(10) 素数
１０１０(2)＝１０(10)＝２×５(10) １０×１０１＝１０１０
１００１(2)＝９(10)＝３×３(10)   １１×１１＝１２１（＊＊＊）
１０００(2)＝８(10)＝２×４(10)   １０×１００＝１０００
  １１１(2)＝７(10)  素数
  １１０(2)＝６(10)＝２×３(10)   １０×１１＝１１０
  １０１(2)＝５(10)  素数
  １００(2)＝４(10)＝２×２(10)   １０×１０＝１００
    １１(2)＝３(10)  素数
    １０(2)＝２(10)  素数
      １(2)＝１(10)

したがって、求めるＣは、

１１０１，１０１１，１００１，１１１，１０１，１０，１

以上の７個。

【問題３】

１００１１(2)＝１９(10) 素数
したがって、a,bは存在しない。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題２】

間違えていました。
１１が漏れていました。

１００１は１１×１１１＝１２２１
ｆ(1221)=1001
ｆ(f(11)*f(111))=1001

上の解答から削除してください。これでスッキリしました。

０と１のみで構成される自然数Ｃを２進法表記とみなしたとき、
素数のときは、f(f(a)*f(b))=Cを満たすf(a),f(b)は存在しない。

ただし逆は成立しない。

【問題４】

以前出題されたAsamiさんの問題を思い出しました。

A(1)=1,A(2)=11,A(3)=111,......,A(n)=1111・・11(1がｎ個）

となる数列A(n)を定義する。

dの桁数をkとする。

i) kが合成数のとき
k=k₁*k₂　k₁，k₂＞1
A(k₁) | A(k)，A(k₂) | A(k) →

a=A(k₁)，b=A(k)/A(k₁)，f(a)=A(k₁)，f(b)=A(k)/A(k₁)
または
a=A(k₂)，b=A(k)/A(k₂)，f(a)=A(k₂)，f(b)=A(k)/A(k₂)

いずれにしても
f(a)*f(b)=A(k)，f(f(a)*f(b))=A(k)
したがってkが合成数のときは存在する。

ii) kが素数のとき
k=1*k
A(1) | A(k)，A(k) | A(k)
a=A(1)=1，b=A(k) ｆ(a)=1，f(b)=A(k) となり条件を満たさない。

i),ii)よりa,bが存在しないときはkが素数のときである。

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