◆埼玉県 斉藤 誠 さんからの解答。
数の大小が解るように、正数で考えていきます。
Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞０ とし、負数は（−Ｃ）などと表現する
ここで４つのケースに場合分けする
絶対値が最小の数が負数の場合
（−Ｃ）の場合・・・ケース１
Ａ ＋ Ｂ ＋（−Ｃ） ＝ Ｋ ＞０
Ａ１ ← Ａ＋（−Ｃ） ＝ Ｋ−Ｂ ＞０
Ｂ１ ← Ｂ＋（−Ｃ） ＝ Ｋ−Ａ ＞０
Ｃ１ ← −（−Ｃ） ＝ Ｃ ＞０
となり１回で全て正数になる
絶対値が中間の数が負数の場合
（−Ｂ）の場合・・・ケース２
Ａ ＋（−Ｂ） ＋ Ｃ ＝ Ｋ ＞０
Ａ１ ← Ａ＋（−Ｂ） ＝ Ｋ−Ｃ ＞０
Ｂ１ ← −（−Ｂ） ＝ Ｂ ＞０
Ｃ１ ← Ｃ＋（−Ｂ） ＝ Ｋ−Ａ
ここで Ｃ１＝Ｋ−Ａ＜０ の場合は（全てが正数にならないケース、以下同様）
Ａ２ ← Ａ＋（−Ｂ）＋（Ｋ−Ａ） ＝ Ｋ＋（−Ｂ）
Ｂ２ ← Ｂ＋（Ｋ−Ａ） ＝ Ｃ ＞０
Ｃ２ ← −（Ｋ−Ａ） ＝Ａ−Ｋ ＞０
∵ Ｃ１＜０
ここでＫ−Ｂ＜０の場合は
Ａ３ ← −（Ｋ−Ｂ） ＝ Ｂ−Ｋ ＞０
Ｂ３ ← Ｃ＋（Ｋ−Ｂ） ＝ ２Ｋ−Ａ
Ｃ３ ← Ａ−Ｋ＋（Ｋ−Ｂ） ＝ Ａ−Ｂ ＝ Ｋ−Ｃ ＞０
ここで２Ｋ−Ａ＜０の場合は
Ａ４ ← Ｂ−Ｋ＋（２Ｋ−Ａ） ＝ Ｃ ＞０
Ｂ４ ← −（２Ｋ−Ａ） ＝ Ａ−２Ｋ ＞０
Ｃ４ ← Ｋ−Ｃ＋（２Ｋ−Ａ） ＝ ２Ｋ＋（−Ｂ）
ここで２Ｋ−Ｂ＜０の場合は・・・とつづきますが
２回目と４回目をみると解るように、Ｃが変わらず、（−Ｂ）がＫずつ増えているのが解ります。
また、Ａがその分減っています。
すなわち
Ａ２ｎ ← Ｃ ＞０
Ｂ２ｎ ← Ａ−ｎＫ ＞０
Ｃ２ｎ ← ｎＫ−Ｂ
となり ｎＫ−Ｂはいずれは整数となる
絶対値が最大の数が負数の場合
（−Ａ）の場合・・ケース３
（−Ａ）＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ Ｋ ＞０
Ａ１ ← −（−Ａ） ＝ Ａ ＞０
Ｂ１ ← Ｂ＋（−Ａ） ＝ Ｋ−Ｃ ＜０
∵ Ａ＞Ｂ
Ｃ１ ← Ｃ＋（−Ａ） ＝ Ｋ−Ｂ ＜０
ケース３の１ Ｋ−Ｃ＜０ （Ｂ１が負数）
Ａ２1 ← Ａ＋（Ｋ−Ｃ） ＝ Ｂ ＞０
Ｂ２1 ← −（Ｋ−Ｃ） ＝ Ｃ−Ｋ ＞０
∵計算定義 ｂ ←（−ｂ）
Ｃ２1 ← Ｋ−Ｂ＋（Ｋ−Ｃ） ＝ Ｋ−Ａ ＜０
Ａ３1 ← Ｂ＋（Ｋ−Ａ） ＝ ２Ｋ−Ｃ
Ｂ３1 ← Ｃ−Ｋ＋（Ｋ−Ａ） ＝ Ｋ−Ｂ ＜０
∵ Ｋ−Ｂ＝Ｃ−Ａ、 Ａ＞Ｃ
Ｃ３1 ← −（Ｋ−Ａ） ＝ Ａ−Ｋ ＞０
∵計算定義 ｂ ←（−ｂ）
ケース３の１-1 ２Ｋ−Ｃ＜０ （Ａ３１が負数）
Ａ４1１ ← −（２Ｋ−Ｃ） ＝ Ｃ−２Ｋ ＞０
Ｂ４1１ ← Ｋ−Ｂ＋（２Ｋ−Ｃ） ＝ ２Ｋ−Ａ
Ｃ４1１ ← Ａ−Ｋ＋（２Ｋ−Ｃ） ＝ Ｂ ＞０
Ａ５1１ ← Ｃ−２Ｋ＋（２Ｋ−Ａ） ＝Ｋ−Ｂ
Ｂ５1１ ← Ａ−２Ｋ ＞０
Ｃ５1１ ← Ｂ＋（２Ｋ−Ａ） ＝ ３Ｋ−Ｃ
ケース３の１-２ Ｋ−Ｂ＜０ （Ｂ３１が負数）
Ａ４1２ ← ２Ｋ−Ｃ＋（Ｋ−Ｂ） ＝ ２Ｋ−Ａ
Ｂ４1２ ← −（Ｋ−Ｂ） ＝ Ｂ−Ｋ ＞０
Ｃ４1２ ← Ｂ＋（Ｋ−Ｂ） ＝ Ｃ−Ｋ ＞０
Ａ５1２ ← −（２Ｋ−Ａ） ＝ Ａ−２Ｋ ＞０
Ｂ５1２ ← Ｂ−Ｋ＋（２Ｋ−Ａ） ＝ ２Ｋ−Ｃ
Ｃ５１２ ← Ｃ−Ｋ＋（２Ｋ−Ａ） ＝ ２Ｋ−Ｂ
ケース３の２ Ｋ−Ｂ＜０ （Ｃ１が負数） 省略
ケース３の２-１ 省略
ケース３の２-２ 省略
以下 負数になるケースの場合を順に調査すると、以下の関係が解る
（ただしＡ，Ｂ，Ｃの場所が異なる場合があるが、
ここではそれぞれ変化していく数をＡ、Ｂ，Ｃで表している）
Ａ２ｎ ← −Ａ＋ｎＫ ＜０
Ｂ２ｎ ← Ｂ−ｐＫ ＞０
Ｃ２ｎ ← Ｃ−ｑＫ ＞０
ここで ｎ＝ｐ＋ｑ
Ａ２ｎ＋１ ← Ａ−ｎＫ ＞０
Ｂ２ｎ＋１ ← ｐ’Ｋ−Ｂ ＜０
Ｃ２ｎ＋１ ← ｑ’Ｋ−Ｃ ＜０
ここで ｎ＝ｐ’＋ｑ’
２ｎ回目で（−Ａ）がＫづつ増えていき、ついには正数になるのだが
（−Ａ）の絶対値が ＢまたはＣ より小さくなるとケース１、２になり、全ての数が正数となるといえる。
その前にＢやＣが負数に転じる可能性もある。
しかし、そのときは 負数になった ＢまたはＣ はＫより小であり、絶対値の大きい順に数値を並べて、場合分けと比較すると
（−Ａ）＋Ｂ＋（−Ｃ） や （−Ａ）＋（−Ｂ）＋Ｃ はあり得ない（Ｋ＜０になる）
よって Ｂ＋（−Ａ）＋Ｃ等となり ケース１，２になる。
２ｎ＋１ 回目についても同様で ＢまたはＣのどちらか一方が正数になれば、ケース１、２のどちらかになる。
同時に正数になる場合もあるだろう。
絶対値が最大の数が正、残り２数が負数の場合
（−Ｂ）かつ（−Ｃ）の場合・・・ケース４
Ａ＋（−Ｂ）＋（−Ｃ） ＝ Ｋ ＞０
（−Ｂ）を負数とした場合
Ａ１ ← Ａ＋（−Ｂ） ＝ Ｋ＋Ｃ ＞０
Ｂ１ ← −（−Ｂ） ＝ Ｂ ＞０
Ｃ１ ← （−Ｃ）＋（−Ｂ） ＝ Ｋ−Ａ ＜０
（−Ｃ）を負数とした場合
Ａ１ ← Ａ＋（−Ｃ） ＝ Ｋ＋Ｂ ＞０
Ｂ１ ← （−Ｂ）＋（−Ｃ） ＝ Ｋ−Ａ
Ｃ１ ← −（−Ｃ） ＝ Ｃ ＞０
どちらのケースも負数が１個なのでケース１、２、３のどれかになる
以上より高々［絶対値最大数／３数の和］＋１回で全て正数になる
これで良さそうな気がするんですが
問２
任意の場所からの３数が全て負数の場合も考慮するンでしょうね
んんん ちょっと一休み
◆愛知県 重永 大介 さんからの解答。
【問題１】
Ｓ=ａ2+ｂ2+ｃ2 とする。
ｂ＜０とすると
（ａ＋ｂ)2＋（−ｂ)2＋（ｃ＋ｂ)2
＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ｂ（ａ＋ｂ＋ｃ)
＜ａ2＋ｂ2＋ｃ2
（ｂ＜０，３数の和は不変でａ＋ｂ＋ｃ＞０より)
よって３数の中に負の数がある限り、Ｓはこの操作で狭義単調減少。
また、つねにＳ＞０である。
いつまでも負の数がなくならないとすると、Ｓは自然数なのでいつかはＳ＜０となることになり矛盾する。
よってこの操作は有限回で終わる。
（証明終わり)
問題２で、僕自身、問題の意味が分からないところがありました。
【コメント】
問題１は、斉藤説も重永説も正しいと思います。
この証明の短さはすばらしいですね。
問題２についても、Ｓに相当する数を見つけるのがポイントになります。
質問については、
質問１については、連続した３つの数の真ん中を負の数としてください。
ただしその前後の数は正でも負でもかまいません。
質問２については、連続する３数をとる順によらず、有限回で終わります。
根拠は問題１と同様です。
◆飯田 孝久 さんからの解答。
５つの数をａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅとし、ｂ（＜０）を中心とした操作をします。
新しい５数はａ＋ｂ，−ｂ，ｂ＋ｃ，ｄ，ｅとなります。
ここで、次の量（Ｘ）を考えます。
「各数の平方（５項）と隣との和の平方（５項）すべての合計」
この量を、元の５数と新しい５数で計算して比較します。
１０項を比較すると、８項は同じ物ですので消し去ると、残りは
元の側 （ｃ＋ｄ）2＋（ｅ＋ａ）2
新しい側 （ｂ＋ｃ＋ｄ）2＋（ｅ＋ａ＋ｂ）2
です。上から下を引くと、
−２ｂ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）
であり、ｂ＜０，ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＞０から
−２ｂ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）＞０
となります。したがって、この問題の操作ではＸは単調に減少します。
いつまでも負の数が残っていると、この操作が無限に続けられることになり、Ｘが正であることに矛盾します。
したがって、いつかはすべての数は０以上になります。
（Ｑ．Ｅ．Ｄ．）
【コメント】
ついにこの問題も解決です。
この下降式はとても巧妙ですね。
私も本で読んだものと、自分で見つけたものを含めて３つほど下降式を知っているのですが、この式は新発見です。
他の式を発見した方はぜひお知らせくださいね。