◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
１＋１００−１＝１００。
１００＋９９−１＝１９８。
．．．．．．．
Ｘ＋２−１。
１＋２＋３＋４＋．．．．＋９９＋１００＝５０５０。
５０５０−９９＝４９５１。
結局、１から１００まで加算し９９回マイナス１となる。
答え ４９５１
【コメント】
問題１は見事正解です。
問題２はかなり複雑なので、ヒントを出しておきますね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題２】
ａｂ＋ａ＋ｂ＝ａ（ｂ＋１）＋ｂ＋１−１＝（ａ＋１）（ｂ＋１）−１
1)（１＋１）（２＋１）−１＝３！−１
2)（３！−１＋１）（３＋１）−１＝４！−１
3)（４！−１＋１）（４＋１）−１＝５！−１
.........................
.........................
19)（２０！−１＋１）（２０＋１）−１＝２１！−１
答え ２１！−１
【コメント】
これも正解です。
ただ厳密には、数を選ぶ順序に関係なく答えが一定であることを示す必要があるでしょうね。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題２】
“整数の集合{A1，A2，……，An}に関して、
ｎ−１回の操作を施した結果、
(A1＋１)(A2＋１)……(An＋１)−１が残る”
この命題を帰納法で示す。
今、ａｂ＋ａ＋ｂ＝(ａ＋１)(ｂ＋１)−１に注意しよう。
ｎ＝２のとき 明らかである。
ｎ＝ｋの時に成り立つと仮定して、
ｎ＝ｋ+１のとき 整数の集合
{B1，B2，……，Bk，Bk+1}に関して、
一回の操作後、k個の整数の集合
{(B1＋１)(B2＋１)−１，B3，……，Bk，Bk+1}
に変化したとしてよい。
これに帰納法の仮定を適用すれば、残りk-1回の操作で、
{(B1＋１)(B2＋１)}(B3＋１)……(Bk+1＋１)−１
が残ることが分かる。
従って帰納法によって、上記の命題が証明された。
次に
{1，2，……，20}の場合に上記の結果を適用すれば
１９回の操作後、
2・3・4・……・20・21−１
すなわち 21！−１が残ることが分かる。