◆東京都 Asami さんからの解答
【問題２の前半のみ】
0001から2000までは2000通り。
一方で行列式の取り得る範囲は−81〜9の91通りしかないから、
2000/91≧20なので、20個の(行列式が)同じ値を持つような数が存在する。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
答え ２３３個
【問題２】
仲間はずれの年号
１９９１
１９９２
１９９３
１９９４
１９９５
１９９６
１９９７
１９９８
他の年号は仲間がいます。
プログラムを組んで調べてみました。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
aは、0,1,2のどれかなので、aで場合分けをして、
●1.
まず、a＝2 のとき、n＝2000 のみなので、
A(2000)は、
det(A(2000))=2・0−0・0＝0 となる。(1通り)
●2.
次に、a＝0 のとき、
ad−bc＝0 より、bc＝0 となる。
よってb＝0またはc＝0となるものの個数を求めると、
A)b＝0 のとき、
A(00cd)の形のとき、det(A((00cd))＝0 なのでこれらの個数は
1から99までの99通り
B)c＝0 のとき、
A(0b0d)の形のとき、det(A((0b0d))＝0 なのでこれらの個数は
b＝0 のとき、1〜9の9通り
b≠0 のとき、0〜9までそれぞれ10通りなので合計90通り
よって合計99通り
C)b＝0かつc＝0 のとき、
A(000d)の形のとき、det(A((000d))＝0 なのでこれらの個数は
1〜9の9通り
よって求める合計は、99＋99−9＝189通り
●3.
次に、a＝1 のとき、
d−bc＝0 で、d＝bc となる。
A(1bcd)のうち、
d＝0 のとき、bとcの組み合わせは19通り
d＝1 のとき、bとcの組み合わせは1通り
d＝2 のとき、bとcの組み合わせは2通り
d＝3 のとき、bとcの組み合わせは2通り
d＝4 のとき、bとcの組み合わせは3通り
d＝5 のとき、bとcの組み合わせは2通り
d＝6 のとき、bとcの組み合わせは4通り
d＝7 のとき、bとcの組み合わせは2通り
d＝8 のとき、bとcの組み合わせは4通り
d＝9 のとき、bとcの組み合わせは3通り
で、合計42通り
以上より、合計は1＋189＋42＝232通り となります。
(感想)
どうも自信はありませんがとりあえずこのようになりました。
【問題２の後半】
以下、19通りはすぐにできます。
det(A(1002))=1・2−0・0＝2
det(A(1102))=1・2−1・0＝2
det(A(1202))=1・2−2・0＝2
det(A(1302))=1・2−3・0＝2
det(A(1402))=1・2−4・0＝2
det(A(1502))=1・2−5・0＝2
det(A(1602))=1・2−6・0＝2
det(A(1702))=1・2−7・0＝2
det(A(1802))=1・2−8・0＝2
det(A(1902))=1・2−9・0＝2
det(A(1012))=1・2−0・1＝2
det(A(1022))=1・2−0・2＝2
det(A(1032))=1・2−0・3＝2
det(A(1042))=1・2−0・4＝2
det(A(1052))=1・2−0・5＝2
det(A(1062))=1・2−0・6＝2
det(A(1072))=1・2−0・7＝2
det(A(1082))=1・2−0・8＝2
det(A(1092))=1・2−0・9＝2
後1つ例えば、
det(A(1113))=1・3−1・1＝2
とすれば、20通りできます。
【コメント】
私もプログラムを作ってみました。
計算ボタンをクリックすると、コンピュータが計算を始めます。
結果は２３２通り。
これから００００を取り、２０００を加えればよいので２３２通りになります。
◆東京都 Asami さんからの解答
【問題２の前半の修正】
det＝0を考慮に入れてしまったので、修正します。
2000通りの中にdetが0以外のものは、
2000−232＝1768通り。
一方で行列式の取り得る範囲は0を除くと−81〜9の90通りしかないから、
1768/90≧19.644……なので、19.644……個の(行列式が)同じ値を持つような数が存在する。
そのような数は整数値なので20として良い。
(証明終了)
いずれにしても、平田さんのように具体的に20個を見つけてしまえば、このような考察(証明)は、意味を成さなくなりますが………。
計算しなくても、存在性だけは証明できるというのは、大事なことですね。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
間違えていました。
００００年をカウントしていました。
答え ２３２個。
【問題２】
「０」が２３２個で１番多い組ですが、その次は、「−６」の６３個のようです。