◆東京都 哲(サトシ) さんからの解答。
d | n ならば、f(d) | f(n) 。
(f(n)=2n-1 なので。)
n が合成数のとき、1＜d＜n となる d が存在しますから、
f(n) は必ず合成数になります。
# そのくらいしか思いつかない。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
与えられた数列のどこの連続ｋ(≧２)項であっても、その比は常に
２0 : ２1 : ２2 : … : ２k-1 となる。
それ故、f(mk)はf(k)で割り切れることになる。
（ただし、ｍは自然数。）
よって、合成数ｎの素因数分解が ｎ＝αａβｂγｃ… なら、
αａ'βｂ'γｃ'… は ｎの約数であるが、
ｆ(αａ'βｂ'γｃ'…) もまた f(n)の約数となる。
ただし、ａ',ｂ',ｃ',… はそれぞれ ａ,ｂ,ｃ,… 以下の任意の非負整数とする。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
| f(n)= | n-1 Σ k=0 |
2k= | 1-2n 1-2 |
*1 = 2n- 1 |
n 素数 f --------------------- 1 * 1 2 * 3 3 * 7 4 15 5 * 31 6 63 7 * 127 8 255 9 511 10 1023 11 * 2047 12 4095 13 * 8191 14 16383 15 32767 16 65535 17 * 131071 18 262143 19 * 524287 20 1048575このように nが素数でない場合、ｆ(n)は素数でない。