◆長崎県の高校生 nfyp さんからの解答。
【問題１】
台形ＡＢＣＤ（ＡＤ＞ＢＣかつＡＤ//ＢＣ）とする。
対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。
ＡＢとＣＤの交点をＦとする。
ＦＥを結ぶと台形ＡＢＣＤは面積で２等分される。
（証）ＥからＡＤに平行に線分ＧＨを引く。
（ＧはＡＢの交点,ＨはＣＤの交点）
ＡＤ＝ａ,ＢＣ＝ｂとし
省略
ＧＥ＝ＥＨ＝ａｂ/ａ＋ｂとなるので
ＢＩ＝ＩＣとなるので（ＩはＥＦとＢＣの交点）
面積は二等分される。
【問題２】
台形の面積の二等分を用いることにより、 その台形の上底、下底は二等分でき、また２ａ2等分できることになる。
平行四辺形ＡＢＣＤのＡＢを四等分し４ＡＤ＝ＡＢとするＥをおく。
ＤとＥとを結びＢＣとの延長の交点をＦとすると３ＦＢ＝ＡＤとなる。
台形ＡＦＣＤのＦＣを2等分し中点をＧとすると３ＢＧ＝ＢＣとなりＢＣは三等分できる。
ＡＤも同じように三等分すると合同な平行四辺形が3つできることになる。
【問題３】
まず問題２より2等分,3等分,２a３b等分（a,bは正の整数）ができることになる。
（問題２を用いて）ＦＢ：ＦＡ＝a:b,BG:GC=c:dとする。
５等分はa:b=1:5 c:d=2:3 可能
７等分はa:b=1:7 c:d=3:4 可能
11等分は a:b=1:11 c:d=6:5 可能
よって素数等分する場合（2,3を除く）は
その（素数＋１の値）／２の値は等分できるので、全ての自然数等分は可能になる。
【問題４】
正奇数角形では３角を除き、正偶数角形では２角を除き平行に交わらないように多角線を引く。
（正９角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩではＢＩ,ＣＨ,ＤＧ,を引く）
その平行する対角線と辺は全て自然数等分できるのでそれを結んでいけばよい。
自然素数等分できる理由
（証）正奇数角形の正７角形ＡＢＣＤＥＦＧでは
ＢＧ//ＣＦ ＧＦ//ＢＧより平行四辺形ができる。
ＣＦ//ＧＢ ＦＧ//ＣＤより平行四辺形ができる。
ＥＤ//ＣＦ ＤＣ//ＥＢより平行四辺形ができる。
正偶数角形の正８角形ＡＢＣＤＥＦＧＨでは
ＢＨ//ＣＧ ＢＣ//ＨＥより平行四辺形ができる。
ＣＧ//ＤＦ ＦＧ//ＣＢより平行四辺形ができる。
よって正ｎ角形の（ｎは４以上の整数）対角線と辺は全て自然数等分できる。
内容的にはあまり知識もなくても解けるいい問題だと思います。