◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
２Ｘ＋３Ｙ＋６Ｚ＝２３６から、
３Ｙ＋６Ｚ＝２３６−２Ｘ
３(Ｙ＋２Ｚ)＝２(１１８−Ｘ)
よって、１１８−Ｘは３の倍数であり、Ｘは２以上の整数なので、ｎを１以上３８以下の整数として、
１１８−Ｘ＝３ｎとおける。
よって、
３(Ｙ＋２Ｚ)＝２・３ｎより、
Ｙ＋２Ｚ＝２ｎ
従って、Ｙ＝２(ｎ−Ｚ)
故にＹは偶数なので、Ｙ≧４
よってｎ−Ｚ≧２とＺ≧６により、
ｎ≧８
∴８≦ｎ≦３８
また、Ｘ＝１１８−３ｎ，Ｙ＝２(ｎ−Ｚ)より、ｎ，Ｚの値が決まればＸ，Ｙの値が１つずつ決まる。
従って、ｎ，Ｚの値の組の個数を考えればよい。
ｎ−Ｚ≧２とＺ≧６より、
ｎ＝３８のとき、Ｚ＝３６，３５，…，７，６でＺの値は３１通り
ｎ＝３７のとき、Ｚ＝３５，３４，…，７，６でＺの値は３０通り
ｎ＝３６のとき、Ｚ＝３４，３３，…，７，６でＺの値は２９通り
以下同様にして、ｎ＝ｋのとき、Ｚの値の個数は(ｋ−７)通りあり、
８≦ｎ≦３８から、
１≦ｋ−７≦３１
よって、条件を満たす整数Ｘ，Ｙ，Ｚの組の個数は、
１＋２＋…＋３０＋３１＝４９６組
◆出題者のコメント。
見事正解です。
もっと楽な方法もありますので、それも考えてみてください。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
X-2=x≧0 Y-3=y≧0 Z-6=z≧0 であらわすと
2x+3y+6z=236-4-9-36=187
右辺は奇数なので y=2f+1 とあらわし
2x+6f+6z=187-3=184
x+3f+3z=92
右辺は 2(mod3)なので x=3g+2とあらわし
g+f+z=30 g,f,z≧0
これを満たす組の数は
1+2+...+31=31*32/2=496
答え 496組
◆出題者のコメント。
見事正解です。
わざわざg+f+z=30(g,f,zは非負整数)という簡単な形に変形できるように作ったので、実際に変形してくれる人がいて安心しました。