◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答。
４つの直線の方程式は
(X+Y+1)=0,(X-Y+1)=0,(X+Y-1)=0,(X-Y-1)=0
wxyz=0であればw=0またはx=0またはy=0またはz=0が成立するから、
求める式は (X+Y+1)(X-Y+1)(X+Y-1)(X-Y-1)=0
◆東京都の高校生 shima さんからの解答。
Ｙ＝Ｘ＋１…(1)
Ｙ＝Ｘ−１…(2)
Ｙ＝−(Ｘ＋１)…(3)
Ｙ＝−(Ｘ−１)…(4)
(1)(2)をまとめて Ｙ＝Ｘ±１…(5)
(3)(4)をまとめて Ｙ＝−(Ｘ±１)…(6)
(5)(6)をまとめて
Ｙ2＝(Ｘ±１)2
⇔Ｙ2＝Ｘ2±２Ｘ＋１
⇔Ｘ2−Ｙ2＋１＝±２Ｘ
⇔(Ｘ2−Ｙ2＋１)2＝(±２Ｘ)2
⇔(Ｘ2−Ｙ2＋１)2＝(２Ｘ)2
⇔(Ｘ2−Ｙ2＋１)2−(２Ｘ)2＝０
⇔(Ｘ2＋２Ｘ−Ｙ2＋１)(Ｘ2−２Ｘ−Ｙ2＋１)＝０
⇔(Ｘ＋Ｙ＋１)(Ｘ−Ｙ＋１)(Ｘ＋Ｙ−１)(Ｘ−Ｙ−１)＝０ □
【別解】
Ｙ＝Ｘ＋１⇔Ｘ−Ｙ＋１＝０…(1)
Ｙ＝Ｘ−１⇔Ｘ−Ｙ−１＝０…(2)
Ｙ＝−Ｘ＋１⇔Ｘ＋Ｙ−１＝０…(3)
Ｙ＝−Ｘ−１⇔Ｘ＋Ｙ＋１＝０…(4)
(1)(2)(3)(4)をまとめて
(Ｘ＋Ｙ＋１)(Ｘ−Ｙ＋１)(Ｘ＋Ｙ−１)(Ｘ−Ｙ−１)＝０ □
【コメント】
「ｘｙ＝０⇔ｘ＝０またはｙ＝０」の応用ですね。
初めて見るとできそうにないですが、最初の解答のように強引にやってもできました。
◆大阪府 ゆたか さんからのコメント。
四角形ＡＢＣＤを１つの方程式で表すんだと思い、複雑な式を考えていました。
よく読み返してみるとちゃんと「四直線」と書いてありますね。
ならばお二人の解答であってると思います。
では、私が考えたように四角形ＡＢＣＤを１つの式で表すのはどうでしょうか？
これを追加問題にしてみてはいかがですか？
また、４点の座標がＡ(1，1)，Ｂ(−1,1)，Ｃ(−1,−1)，Ｄ(1,−1)だとしたらどうでしょうか？
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
AB,BC,CD,DAは無限直線の意味なのだろうか？
線分なら|x|+|y|-1=0