。
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
【問題２】
p=a2n+1+b2n+1
=(a+b)(a2n-a2n-1*b+…+a2*b2n-2-a*b2n-1+b2n)
のかたちになるので
a2n-a2n-1*b+…+a2*b2n-2-a*b2n-1+b2n
が1のときのみpが素数になる。
a≧bとしても一般性を失わない
a2n-a2n-1*b+…+a2*b2n-2-a*b2n-1+b2n
=a2n-1*(a-b)+a2n-3*b*(a-b)+…+a*b2n-2*(a-b)+b2n
≧b2n
となるので、1になる条件はa=b=1のときのみである。
以上より条件を満たすのはp=2のときだけである。
【問題４】
最長の辺によって何種類の三角形ができるかを考える
他の二辺をa,b(a＜b)とおく
(1)最長の辺の長さが偶数の時
(2kとおく。k=1,2,…500)
辺の組み合わせは下記のとおりである。
a b
2 2k-1
3 2k-2,2k-1
4 2k-3,2k-2,2k-1
: :
k k+1,k+2,…,2k-2,2k-1
| つまり | k-1 i=1 |
i 種類の三角形ができる。 |
(2)最長の辺の長さが奇数の時
(2k-1とおく。k=1,2,…500)
| (1)と同様にして | k-2 i=1 |
i 種類の三角形ができる。 |
(1)(2)より三角形の種類は
| 500 k=1 |
k-1 i=1 |
i + | 500 k=1 |
k-2 i=1 |
i =41541750 |
よって三角形は41541750種類できる。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
半径１の円に外接する三角形ABCの面積Sは
| S =cot( | A 2 |
)+cot( | B 2 |
)+cot( | C 2 |
) |
| =cot( | A 2 |
)+cot( | B 2 |
)+tan( | A 2 |
+ | B 2 |
) |
| = | αβ(α + β) αβ-1 |
| ここで α＝cot( | A 2 |
)、β＝cot( | B 2 |
) |
極値を考える
| ∂S ∂α |
= | {（α2-1）β - 2α ｝β （αβ-1）2 |
=0 |
| から β = | 2α α2-1 |
| 同じく | ∂S ∂β |
から α = | 2β β2-1 |
よって A=B=C=60°のときが最小で値は3。
【問題３】
ｎ≧２ 個の連続する正の整数の和は次のようにあらわせる。
| a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-1) = | 1 2 |
n( 2a + n - 1 ), a≧１ |
| n = p, a = M - | p-1 2 |
とあらわせる。 |
| a = M - | p-1 2 |
≧1 ならば上の議論で連続する数の和。 |
| a = M - | p-1 2 |
＜1 つまり 2q+1＜p ならば、 |
| n = 2q+1, a = | p - 2q+1+1 2 |
≧１ととり直し |
よって数が2より大きな素数を因数にもつことと連続する自然数の和で表せることは同値。
よってｎ≧２の連続する正の整数の和であらわせない数は 2m である。
1000以下で最大なのは 29 = 512.