◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
| ｎ | （ａ0,ａ1,……ａn) |
|---|---|
| ３ | （１，２，１，０），（２，０，２，０） |
| ４ | （２，１，２，０，０） |
| ５ | Ｎｏｎ |
| ６ | （３，２，１，１，０，０，０） |
| ７ | （４，２，１，０，１，０，０，０） |
| ８ | （５，２，１，０，０，１，０，０，０） |
| ９ | （６，２，１，０，０，０，１，０，０，０） |
| ．．． | ．．． |
| ｎ | （ｎ−３，２，１，０．．．．．０，１，０，０，０） |
ｎ＝２０ 位まではＰＣで容易に虱潰し探索でき、
上表に示すように ｎ≧６においては規則的な唯一の解が得られる。
従って、表の最下行に示す一般解が予想される。
一般解が成立していることは明らかである。
よって、これが唯一であることを証明する。
ただし ｎ≧６ に限り、５まではＰＣ解によるとする。
全部でｎ＋１個の数字があるので
Σａｋ＝ｎ＋１ --(1)
また、逆に数えて Σｋ*ａｋ＝ｎ＋１ ---(2)である。
ｐ＝［ｎ／２］ とする。
ｎ≧６ なので ｐは３以上である。
［ ］はガウス記号
【補題１】
ａｐ〜ａｎ のみを考えるとき、
ａｐ〜ａｎは全部０か一つだけが１である。
∵ 少なくとも ａｐ〜ａｎ の和は２以下である。
なぜならその和は最小でも ３ｐ であり、（２）に反するからである。下表Ａ欄参照。
| ｎ | ｐ | A ３ｐ≦ｎ＋１？ | Ｂ ２ｐ＋３≦ｎ＋１ ？ |
|---|---|---|---|
| ６ | ３ | ９＞７ No | ９＞７ No |
| ７ | ３ | ９＞８ No | ９＞８ Ｎｏ |
| ８ | ４ | １２＞９ No | １１＞９ Ｎｏ |
| ９ | ４ | １２＞１０ No | １１＞１０ Ｎｏ |
| ２ｍ | ｍ≧３ | ３ｍ＞２ｍ＋１ No | ２ｍ＋３＞２ｍ＋１ No |
| ２ｍ＋１ | ｍ≧３ | ３ｍ＞２ｍ＋２ No | ２ｍ＋３＞２ｍ＋２ No |
よって２が一個の場合と１が２個の場合を否定できれば良い。
ｐは３以上であるので、（２）より ２が一個の場合：２*1＋ｐ＋ｐ≦ｎ＋１、
１が２個の場合：１*２＋ｐ＋（ｐ＋１）≦ｎ＋１ が要請される。
１が２個の場合は上表Ｂ欄のごとくそのまま否定される。
２が一個の場合は ａｐ＝２ ａ２＝１ がまだ候補として残る。
しかしこの場合 ａ１≧１ であるから和はもう一つ増え、上表Ｂ欄により否定される。
よって補題１は証明された。
【補題２】
ａ０≧ｎ−ｐ≧ｐ である。
∵補題１より ａｐ〜ａｎは最大でも１個除き０であり
よって ａ０≧ｎ−ｐ である。
２*［ｎ／２］≦ｎ であるから ｐの定義より ｐ≦ｎ−ｐ
補題１と補題２から ａｐ〜ａｎは１個だけ１であり、それは０の個数を表すａ０を添え字ｋとするａｋのみであることが分かる。
つまり つぎのパターンのものだけが存在しうる。
（ａ０、ａ１、ａ２、ａ３、、、、ａｐ−１、０、、、、０、１、、、、０）
これを（１）（２）に代入し 辺々引くと（３）式である。
ただし Σは ｋ＝１〜ｐ−１
１＝Σ（ｋ−１）ａｋ ----(3)
ａｋ≧０であるから この（３）式が成立するためには ｋ−１≧２
つまり ｐ＞ｋ≧３ においては ａｋ＝０ である。
よって 結局 １＝ａ２ が決まる。
さらに １が２箇所なので ａ１＝２ となり
都合（１）式より ａ０＝ｎ−３ である。
これは予測された唯一の解である。
【感想】
問題にｎで分類とあったので、かなり煩雑なのかと二の足を踏んでいましたが、意外にも解はすっきりしているのですね。