『高校生からの挑戦状Part45』

『高校生からの挑戦状Part45』解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【問題１】

ｎ_ｋ＝（３＋２）^ｋ＋（３-２）^ｋ－２
４

問題は　ｎ（ｎ＋１）＝２ｐ^２を満足する整数　ｎ、ｐ　を求めることである。

変形すると　（２ｎ＋１）^２－２（２ｐ）^２＝１
になり、（２ｐ）^２の係数２は平方数ではない。
従ってペルの方程式である。

ペルの方程式は良く研究されている。
参考：ペル方程式の解の構造

その結果および　解の１つ　ｎ_１＝１，ｐ_１＝１　を用いると　一般項は　
（２ｎ_ｍ＋１）＋（２ｐ_ｍ）＝（１＋）^ｍ＋１である。

ｍ　が偶数のとき（２ｐ_ｍ）は奇数になるので、これは解ではない。

一方、ｍが奇数なら（２ｐ_ｍ）は偶数、（２ｎ_ｍ＋１）は奇数であり解である。

そこで　ｍ＝２ｋ＋１と置けば
（２ｎ_ｋ＋１）＋（２ｐ_ｋ）＝（３＋２）^ｋ

実際、ｋ＝２とすれば
（３＋２）^２＝１７＋１２　より　
ｎ_２＝８，ｐ_１＝６　を得る。

具体的に示せば、
ｎ_ｋ＝（３＋２）^ｋ＋（３-２）^ｋ－２
４
である。

【問題２】

等差数列和の公式に代入すると

（２ｍ－１
２） ^２（２ｎ_ｋ）（１＋ｎ_ｋ）
である。　

ｍ　による部分は半整数の平方になっている。

残りの部分に問題１の結果を代入すると

（２ｎ_ｋ）（１＋ｎ_ｋ）＝（（３＋２）^ｋ）^２＋（（３－２）^ｋ）^２
２ - １
４

ここで、（３＋２）^ｋ＝Ａ_ｋ＋Ｂ_ｋ　とおけば　
（３-２）^ｋ＝Ａ_ｋ-Ｂ_ｋであり、
　（Ａ_ｋ＋Ｂ_ｋ）（Ａ_ｋ-Ｂ_ｋ）＝Ａ_ｋ^２－２Ｂ_ｋ^２＝１^ｋ　＝１である。

これを代入すれば、　

（２ｎ_ｋ）（１＋ｎ_ｋ）＝Ａ_ｋ^２＋２Ｂ_ｋ^２－１
４＝Ｂ_ｋ^２＝（２ｐ_ｋ）^２
である。

よって平方数である。