◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【定理１≒アイゼンシュタインの定理】
ｘの整数係数ｍ次モニック多項式A(x)があって、A(0)=p：素数であり、かつｍ次を除く係数が全てｐの倍数であるとき、
A(x)は整数係数の範囲では因数分解できない。
∵ A(x)が因数分解できるとすると、ｍ＝ｂ＋ｃ （ｂ＞０ ｃ＞０ 整数）として、次のように因数分解される。
| A(x)＝(±ｘb＋ | b-1 Σ i=1 |
Biｘi | ＋１)(±ｘc＋ | c-1 Σ i=1 |
Ciｘi | ＋p) |
ｘの整数係数モニック多項式A(x)、Ｂ（ｘ）、Ｃ（ｘ）があって、A(ｘ)=Ｂ（ｘ）Ｃ（ｘ）である。
また、Ａ（ｘ）とＢ（ｘ）の最高次数を除く項の係数が素数ｐの倍数であるとき、
Ｃ（ｘ）の係数もまた、最高次数を除く項の係数が素数ｐの倍数である。
∵
Ａ（ｘ）＝ｘｂ＋ｃ＋ｐＡ’（ｘ）、
Ｂ（ｘ）＝ｘｂ＋ｐＢ’（ｘ）、
Ｃ（ｘ）＝ｘｃ＋Ｃ’（ｘ） とする。
A(ｘ)=Ｂ（ｘ）Ｃ（ｘ）に代入して計算すると
ｘｂＣ’（ｘ）＝ｐ（Ａ’（ｘ）−Ｂ’（ｘ）Ｃ’（ｘ）−Ｂ’（ｘ）ｘｃ）
である。
よってＣ’（ｘ）の係数はｐの倍数である。
| (ｙ＋１)p−１＝ｙ× | p-1 Σ i=1 |
pＣi+1ｙi |
であるので少なくとも２個に因数分解できる。
Σのある方の因数の係数は ｐＣi+1であり、ｐが素数なので、
最高次数ｙp-1の係数が１（モニック）であることを除き、ｐの倍数である。
また、０次の係数はｐＣ1＝ｐである。
よって定理１によりこれ以上因数分解できない。
【命題２】
ｐｋの約数の数はｋ＋１である。
命題１同様に ｘ＝ｙ＋１ と置き換え ｙの整式にして、数学的帰納法で証明する。
ｋ＝１の場合は命題１により成立している。
ｋ＝ｍ−１のときに成立しているとする。
即ちｍ個に因数分解されるとする。
である。前方の因数は仮定によりｍ個に因数分解される。
よって後方Σのある項がこれ以上因数分解できないことを証明できれば良い。
ところで一般に Q＝ｐｍ に対して
QＣi はi＝０、Qを除いてｐの倍数である。
従って、（ｙ＋１）Q−１ も （ｙ＋１）Q／ｐ−１ も 最高次数以外の係数がｐの倍数である、モニックである。
よって定理２により、後方Σのある項も最高次数以外の係数がｐの倍数である、モニックである。
またその０次の係数は ｙ＝０を代入することによりｐであることがわかる。
即ち定理１によりこれ以上因数分解はできない。
【命題３】
（１）ｐ＝２ のとき ２ｐｋの約数の数はｋ＋２である。
一方命題２より因数分解の数はｋ＋２である。
（２）ｐ≠２ のとき、即ち奇数のとき、２ｐｋの約数の数は２（ｋ＋１）である。
式を変形するとｐが奇数なので下記である。
従って、命題２より因数の数は２（ｋ＋１）である。
以上より因数の数は２ｐｋの約数の数であるといえる。
【命題４】
xn-1 を複素数の範囲で因数分解すると下記である。
| xn-1＝ | n-1 Π k=0 |
(ｘ−exp( | 2πi n |
)) |
| n/q-1 Π k=0 |
(ｘ−exp( | 2πiq n |
))＝ｘq−１＝(ｘ−１)(ｘq-1＋・・・＋１) |
従って、（ｘ−１）をｑ＝１に対応させれば、少なくともｎの約数の数だけ因数の種類が存在していることがわかる。
（注記：ただしこれは因数の種類の数であり、因数分解した因数の数ではない。
たとえば３個に因数分解される場合、因数の種類数は最大７個である。）
ｎの約数ｑ１とｑ２の最小公倍数Ｌがｎ未満のとき、Ｌはｎの約数である。
即ち、ｑ１、ｑ２に対応する因数は、Ｌに対応する因数を共通因数として持っている。
従って、因数の種類を ｑ１、ｑ２、Ｌ対応の３個からより因数に近い
ｑ１対応因数／Ｌ対応因数 、ｑ２対応因数／Ｌ対応因数 、Ｌ対応因数
の３個に置き換えることができ、その数は同じである。
以上から、xn-1
を因数分解したときの因数の数は、少なくともの約数の数になることがわかる。