◆東京都 ぽこぺん さんからの解答。
●定義1
3点 P，Q，R が同一直線上にあることを
共線： λ(P, Q, R)と表す。
また，3直線 l，m，n が同一点を通ることを
共点： π(l, m, n)と表す。
●定義2
2点 P，Q を通る直線を
[P, Q]と表す。
また，2直線 l，m の交点を
[l, m]と表す。
●Desarguesの定理とその逆
a = [B, C], a' = [B', C'],
b = [C, A], b' = [C', A'],
c = [A, B], c' = [A', B']
すなわち
A = [b, c], A' = [b', c'],
B = [c, a], B' = [c', a'],
C = [a, b], C' = [a', b']
とおく。
このとき，
π([A, A'], [B, B'], [C, C']) ⇒ λ([a, a'], [b, b'], [c, c'])
が成立する。
この双対命題は定理の逆でもあり，
λ([a, a'], [b, b'], [c, c']) ⇒ π([A, A'], [B, B'], [C, C'])
が成立する。
この定理とその逆を，点だけを用いて表現すると，
π([A, A'], [B, B'], [C, C']) ⇒ λ([[B, C], [B', C']], [[C, A], [C', A']], [[A, B], [A', B']])
λ([[B, C], [B', C']], [[C, A], [C', A']], [[A, B], [A', B']]) ⇒ π([A, A'], [B, B'], [C, C'])
であり，直線だけを用いて表現すると，
π([[b, c], [b', c']], [[c, a], [c', a']], [[a, b], [a', b']]) ⇒ λ([a, a'], [b, b'], [c, c'])
λ([a, a'], [b, b'], [c, c']) ⇒ π([[b, c], [b', c']], [[c, a], [c', a']], [[a, b], [a', b']])
となる。
●問題の解答
【仮定】
λ(A1, A2, A3)
λ(B1, B2, B3)
λ(C1, C2, C3)であり，
l = [A2, A3] = [A3, A1] = [A1, A2]
m = [B2, B3] = [B3, B1] = [B1, B2]
n = [C2, C3] = [C3, C1] = [C1, C2]
とおくとき，
π(l, m, n)が成り立つ。
【点と直線の定義】
a1 = [B1, C1], b1 = [C1, A1], c1 = [A1, B1]
a2 = [B2, C2], b2 = [C2, A2], c2 = [A2, B2]
a3 = [B3, C3], b3 = [C3, A3], c3 = [A3, B3]
とおく。
このとき，
A1 = [b1, c1], B1 = [c1, a1], C1 = [a1, b1]
A2 = [b2, c2], B2 = [c2, a2], C2 = [a2, b2]
A3 = [b3, c3], B3 = [c3, a3], C3 = [a3, b3]
である。
また，題意から，
P1 = [a2, a3], Q1 = [a3, a1], R1 = [a1, a2]
P2 = [b2, b3], Q2 = [b3, b1], R2 = [b1, b2]
P3 = [c2, c3], Q3 = [c3, c1], R3 = [c1, c2]
と書ける。
このとき，
a1 = [Q1, R1], b1 = [Q2, R2], c1 = [Q3, R3]
a2 = [R1, P1], b2 = [R2, P2], c2 = [R3, P3]
a3 = [P1, Q1], b3 = [P2, Q2], c3 = [P3, Q3]
である。
【結論】
λ(P1, P2, P3)
λ(Q1, Q2, Q3)
λ(R1, R2, R3)であり，
x = [P2, P3] = [P3, P1] = [P1, P2]
y = [Q2, Q3] = [Q3, Q1] = [Q1, Q2]
z = [R2, R3] = [R3, R1] = [R1, R2]
とおくとき，
π(x, y, z)が成り立つ。
【証明】
仮定より，
π(l, m, n) = π([A2, A3], [B2, B3], [C2, C3])
であるから，Desarguesの定理により，
λ([a2, a3], [b2, b3], [c2, c3]) = λ(P1, P2, P3)
が成立する。
λ(Q1, Q2, Q3)，λ(R1, R2, R3) に関しても同様。
このとき，結論は
π(x, y, z) = π([P2, P3], [Q2, Q3], [R2, R3])
と書けるので，Desarguesの定理の逆により，
λ([[Q2, R2], [Q3, R3]], [[R2, P2], [R3, P3]], [[P2, Q2], [P3, Q3]])
が言えればよい。
ここで，
[[Q2, R2], [Q3, R3]] = [b1, c1] = A1
[[R2, P2], [R3, P3]] = [b2, c2] = A2
[[P2, Q2], [P3, Q3]] = [b3, c3] = A3
であって，仮定より
λ(A1, A2, A3)
が成立しているから，結論が成り立つ。
●感想
仮定と結論が，A，B，C と P，Q，R に対してまったく同じ形をしており，それがデザルグの定理を通じてピタリと重なるところが，非常に美しい命題だと感じました。
最初，問題文中の点の命名法について，P1, P2, P3 ではなくて，P1, Q1, R1 とすべきだろうと息巻いていたのですが，段々に
作図をしていって，3直線 {Pi}，{Qi}，{Ri} の交点が見えてきたとたん，疑問が氷解しました。
その交点 O' から出発すると全体がするするっと裏返しになってしまうのですね。
鳥肌ものでした。
作図は結構大変で，大きな紙に小さく描き始めないと，すぐに直線の交点が紙からハミ出してしまうのです。
ちょっとした誤差のおかげで一直線上に乗るはずの点があちこちに飛んでしまうこともあって，何枚も図を描き散らしました。
最終的に，「射影幾何的」な記法を工夫して，なんとか式だけで解答を表現することができたのですが，なかなか大変でした。