『高校生からの挑戦状Part33』解答

◆広島県の高校生　おってい さんからの解答。

i＝j＝ｋ（ｋは自然数）のとき、求める数を　a_k　とおく。

a_k=a_k-1+(k-1)+k
a₁=1

より、a_k=k(k-1)+1となる。

求める数は ｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＋a_max(i,j)

より

｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＋{max(i,j)}{max(i,j)-1}+1

である

かなりせこいですが、上の式では
｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)　が

1. i−j≧０　かつ　iは奇数　⇒　｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＝−｜i−j｜
2. i−j≧０　かつ　iは偶数　⇒　｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＝｜i−j｜
3. i−j≦０　かつ　jは奇数　⇒　｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＝｜i−j｜
4. i−j≦０　かつ　jは偶数　⇒　｛(-1)^max(i,j)｝(i−j)＝−｜i−j｜

◆愛知県の高校生　弓使い さんからの解答。

【問題１】

都合上、第ｉ行第ｊ列に書かれてある数字をa(i,j)と表させていただきます。

１）i=jのとき

a(i,j)=a(1,1)+

n-1 Σ k=1

2k (ただし、ijは２以上の自然数とする）

ゆえに、a(i,j)=i²-i+1
（なんか虚数に見えちゃうな・・・）

２）i＜j かつ jが偶数　のとき
これは、１）を基準に考える。

a(j,j)＞a(i,j)　で、a(j,j)-a(i,j)=j-i より
a(i,j)=j²-j+1-(j-i)=(j-1)²+i

３）i＜j かつ jが奇数　のとき
これも、１）を基準に考える。

a(j,j)＜a(i,j)　で、a(i,j)-a(j,j)=j-i より
a(i,j)=j²-j+1+(j-i)=j²-i+1

４）i＞j かつ iが偶数　のとき
これも同じく、１）を基準に考える。

a(i,i)＜a(i,j)　で、a(i,j)-a(i,i)=i-j より
a(i,j)=i²-i+1+(i-j)=i²-j+1

５）i＞j かつ iが奇数　のとき
これもまた、１）を基準に考える。

a(i,i)＞a(i,j)　で、a(i,i)-a(i,j)=i-j より
a(i,j)=i²-i+1-(i-j)=(i-1)²+j

数列の問題を久しぶりに解かせていただきました。
答えはけっこうシンプルな形になりましたが、けっこう考えさせる問題だと思います。
ほどよい難易度でおもしろかったです。

◆富山県の高校生　卓球 さんからの解答。

場合分けは二つ。

（�T）j≧iのとき
　　　j(j-1)+1+(j-i)×(-1)^j+1

（�U）j＜iのとき
　　　i(i-1)+1+(i-j)×(-1)ⁱ

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【解答】

ｋ＝	ｉ＋ｊ＋｜ｉ−ｊ｜ ２

Ａ_ij＝ｋ²−ｋ＋１＋(ｉ-ｊ)*(-1)^k

【ＰＳ】

場合分けを絶対値｜｜で実現。これも不可ですか？

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