◆愛知県 YMOjisan さんからの解答。
【問題１】
特定の２点（下図赤点）をとおり、中心ｘが−∞から＋∞まで移動する円の内部（緑領域）と外部（黄色領域）にある点（青点）の数の差を
f(x)=内部の点の数-外部の点の数 とする。
なお、点が円上にあるときは０個と数える。
このとき下図から分かるようにf(-∞）＝-f(∞）≠０である。なぜなら、
（１）−∞と＋∞では領域がいれ代わっている。
（２）青点の個数は2n-１であり、如何なる３点も直線上にないから、左側内部の点の個数をaとすると
f(-∞）＝a-(2n-1-a)=2(a-n)+1≠０である。奇数でも有る。
また、如何なる４点も円上にないので、f(x)は整数上において連続であり、かつ点を通過するごとに２変化し、
f(-∞）が奇数値であるので、偶数値は必ず通過する。
よって、偶数値である０になるf（ｘ）の解は必ず奇数個である。
（連続関数の性質より）
ところで、特定の２点の選び方は2n+1C2=（２ｎ＋１）ｎとおりあり、偶奇性はｎに一致する。
一方、円は３点により決定されているので、一つの円は3重に計数される。
よって、
良い円の数×３＝｛（特定の２点に対するf(x)＝０の個数）を（２ｎ＋１）ｎ個足したもの｝
であり、ｎと良い円の数の偶奇性は一致する。
【問題2:存在】
たとえば、Aの部分集合として ｛０、１｝、Bの部分集合として ｛０、２｝とすると下図における緑色の三角形の部分が確定する。
すなわち０〜３までの値に対して和がその値になる組が、１組（青〇）ずつ対応している。
ここで重要なのは、青〇の存在する矩形領域（赤□）において青〇の存在が上下対称であることである。
次に、下図〇１を中心に１８０度緑△を回転対称コピーする。
青〇の存在が上下対称であったので、この拡張はAの要素として矛盾を起こさず、
問題の条件を満足しつつ、Bの要素を拡大（｛０、２、４、６｝）することが可能である。
このようにして得られた桃色△における青〇の存在パターンは必ず左右対称である。
よって下図〇２を中心に１８０度回転対称コピーすれば、同様にAの集合を拡大（｛０、１、８、９｝）できる。
（空色△になる）
以後〇３、〇４、・・・を中心に拡大することが可能であり、数学的帰納法によりA,Bを無限集合にすることが可能である。
【問題2:倍数】
０＝０＋０の一通りであるから０はA,B両集合に必ず含まれる。
また、１＝１＋０＝０＋１であるので、１がA,B何れかに含まれなければならない。
一般性を失わず、Aが１を含み、Bは含まないとする。
このとき本問題は、BがK＞1の倍数のみで構成されていることを示すことと等価である。
いまBの０の次の要素をKとする。
このときAは少なくとも０〜K-1を要素として含まなければならない。
そしてこれら部分集合のみで０〜２K-1を和として唯一の組み合わせで表すことが可能であり、一方２Kは表わせない。
２Kを表す方法として、Aの要素として２Kを採用する方法と、Bの要素として２Kを採用する2方法のみが、和が重複しないためには、可能である。
Bの要素として採用するとそれはKの倍数であり、反例にはならない。
B側を連続して採用しつづける場合それは、３K,4K・・・であり、無限に反例は得られない。
一般に、B側にKの倍数でないもの（ｎK＋α）が存在するA、Bの集合があると仮定すると、nK はBの要素ではない。
なぜなら、Aの０〜２K-1とBのｎKのどれかで（ｎK＋α）を表わせるからである。
（下図はK=5 ｎ＝３ α＝３ の場合）
従って、和としてnKを表すためには、Aの集合にnKが必要である。
ところが下図に示すように、Aの０〜K-1と（ｎK＋α）により表わせる数値と、AのnKとBのKにより表わせる数値に重複するものが発生する。
よってBはKの倍数で構成されなければならない。
【感想】
本問題の１は新鮮でした。
グラフ理論かと思いきや、順列組み合わせ＋関数の性質でかつシンプルであり、とても良い問題と感じました。
（なお、part19の方の問題１が延々と解けず、こちらに飛んだ次第です。）”