『数列の部分列』解答

◆富山県　いくまる　さんからの解答。

{b_n},{c_n},{d_n}を

• b_k=A_3k-2
• c_k=A_3k-1
• d_k=A_3k (k=1,2,‥,20)

• b₁+b₂+‥+b₂₀≧20
• c₁+c₂+‥+c₂₀≧20
• d₁+d₂+‥+d₂₀≧20

b_m1 + b_m2 +‥+ b_mp =20

を満たすb_m1,b_m2 ,‥, b_mpを選び出すことが出来る。
ここで

B₁=b_m1, B₂=b_m2,‥, B_p=b_mp

により{B_n}を定義する。
同様に{c_n},{d_n}から適当に選び出すことより
{C_n},{D_n}を定義する。
このとき{B_n},{C_n},{D_n}は{A_n}に依らず与えられた3つの条件を満たす。

よって題意は示された。

◆飯田　孝久　さんからの解答。

Ａの列には、２が４０項あります。
これの初めの３０項を順番にＢ，Ｃ，Ｄに振り分ければいいのではないですか。

条件をもっときつくできるような気がします。
それとも、問題の解釈に勘違いがあるのかも？

◆東京都　Asami　さんからのコメント。

なるほど！
いくまるさんの解答も飯田さんの解答も素晴らしいですね！
何が素晴らしいかと言えば、いくまるさんの解法だと、与えられた列の総和が100という事実をまったく使っていないという点であり、飯田さんの解法は、秒殺的な解法という点で、それぞれ優れていると思います！

まず、いくまるさんの解答の場合、

b₁,b₂,…,b₂₀の総和は20以上だから、もし20丁度ならそれでＯＫ。
20を越えていても、“1”を少なくとも１つ含むようないくつか項を減らすことによって、部分和を19または20できるから、19なら後から“1”を加えて補えばいいわけですね。
(“1”が全くなければ“2”が余裕を持って10項存在するので問題ない！)

あるいは、すべて“2”ならＯＫ。
“1”が少なくとも１つあれば、b₁,b₂,…,b₂₀の総和は20以上39以下だから、その部分和で20の倍数を作ることができるので、和が丁度20のものが存在する。としてもいいかと思います。

とにかく、“どの項も1又は2”という事実をフルに活用すれば、いくまるさんのように解くことができて、それを更に追求すれば飯田さんの解法になるわけですね。

実は、当初“どの項も1または2”という条件を“どの項も1以上”という条件で考えていました。
もしこの場合だと、本命題が成り立つかどうか、是非考えてみて下さい！

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