◆茨城県 小川 康幸 さんからの解答。
まず、 自然数uとvとwに対して、
【補題】
u×vとwが互いに素ならば、uとwは互いに素かつvとwは互いに素
を示す。
【証明】
uとwが互いに素ではないと仮定する。
uとwの2以上の公約数をrとする
u=r×s，w=r×h
よって、u×v=r×(v×s)， w=r×h
よって、u×vとwが、2以上の公約数rを持つ事になり、仮定に反する。
同様にして、vとwも互いに素である事が分かる。
証明終
つぎに、an（ただしn≧2）が素数である事を示す。
【証明】
ある2以上の自然数Nに対して、aNが合成数であると仮定する。
aN=b×c （bとcは2以上の自然数）と書ける。
aN=b×cは、a1×a2×･･･×aN-1と互いに素である。
よって補題より、bとcは、a1×a2×･･･×aN-1と互いに素でなければならない。
aN=b×c＞b，c≧2だから、
bとcは、aNより小さい2以上の自然数であることがわかる。
この事は、aNがa1×a2×･･･×aN-1と互いに素な、2以上の整数の中で最小であると言う仮定に反する。
よって、an（ただしn≧2）が素数である事が分かった。
証明終
素数全体の集合Pから、Aの素因数を取り除いた集合をP'とする。
P'＝{p1，p2，････，pm，･･･} p1＜p2＜････＜pm＜･･･
数学的帰納法で、an+1=pnを示す。
【証明】
(1) a2は、Aと互いに素な素数だから、P'の要素である。
よって、p1≦a2
p1は、2以上でAと互いに素である、a2は、2以上でAと互いに素な自然数のなかで、最小なので
p1≧a2
よって、p1=a2である。
よって、n=1のときは正しい。
(2) n＜mなる自然数nに対して、an+1=pnが成立すると仮定する。
(ただし、mは自然数)
(3) am+1は、A×{p1×p2×･･･×pm-1}と互いに素なので
補題より、am+1はAと互いに素であり、
さらに、p1×p2×･･･×pm-1と互いに素である。
am+1は、Aと互いに素な素数なので、P'の要素である。
am+1は、p1×p2×･･･×pm-1と互いに素である、
またam+1は素数だから、am+1はp1、p2、･･･、pm-1のいずれとも異なる。
よって、am+1≧pmが分かる。
pmは、A×p1×p2×･･･×pm-1と互いに素な、２以上の整数である。
am+1は、
A×p1×p2×･･･×pm-1
=a1×a2×･･･×am
と互いに素な自然数のうち、最小のものだから
am+1≦pm
よって、am+1=pmとなる。
よって、n=mのときも正しい。
証明終
よって、任意の2以上の自然数nに対して、an=pN-1が成立する。
よって、an(n≧2)は、Aの素因数ではない素数を、小さい順番に並べたものになる。