◆東京都 goya さんからの解答。
●あいさつをした人の組み合わせが１パターンに限定されることの証明
１）自分のパートナーとあいさつすることはない
２）Ｎ氏以外はどの人も他の人と異なった回数
条件１）より、各自のあいさつできる回数は０〜６回
条件２）より、Ｎ氏以外の７人は０〜６回の異なる回数
８人がどのような組み合わせであいさつしたのか推定します。
仮の夫妻をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。
（以下の文章で「夫」、「妻」は同等）
まず、６回あいさつしたのがＡ夫と決めます。
相手はＢ、Ｃ、Ｄ夫妻になります。
この時点で、あいさつ０回はＡ妻しかありえません。
次に、５回あいさつしたのがＢ夫と決めます。
（Ａ夫とあいさつ済、Ａ妻、Ｂ妻とは不可なので）
相手はＣ、Ｄ夫妻になります。
すると、Ｃ、Ｄ夫妻はＡ夫とＢ夫とあいさつしたので、あいさつ１回はＢ妻しかありえません。
次に、４回あいさつしたのがＣ夫と決めます。
（Ａ夫とＢ夫とあいさつ済、Ｃ妻とは不可なので）
残る相手はＤ夫妻になります。
すると、Ｄ夫妻はＡ夫、Ｂ夫およびＣ夫とあいさつしたので、あいさつ２回はＣ妻しかありえません。
以上の結果は次の通りです。（ｍ＝夫、ｗ＝妻）
| Ａｍ | Ａｗ | Ｂｍ | Ｂｗ | Ｃｍ | Ｃｗ | Ｄｍ | Ｄｗ | 回数 | |
| Ａｍ | − | − | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ６ |
| Ａｗ | − | − | − | − | − | − | − | − | ０ |
| Ｂｍ | ○ | − | − | − | ○ | ○ | ○ | ○ | ５ |
| Ｂｗ | ○ | − | − | − | − | − | − | − | １ |
| Ｃｍ | ○ | − | ○ | − | − | − | − | ○ | ３ |
| Ｃｗ | ○ | − | ○ | − | − | − | − | ○ | ３ |
| Ｄｍ | ○ | − | ○ | − | ○ | ○ | − | − | ４ |
| Ｄｗ | ○ | − | ○ | − | − | − | − | − | ２ |
Ａ，Ｂ，Ｄのｍかｗでは他の７人の中にＣ夫妻の共に３回があるため、条件を満たさないので、Ｎ氏に該当するのはＣしかありえません。
したがって、Ｎ氏の奥さんは３回あいさつをした。
【コメント】
みごと正解です。すばらしい洞察力ですね。
他にも正解を発見した方は、ぜひその正解を見つけた方法をお知らせください。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答（コメント）
「Ｎ組の夫妻が参加した同窓会では？」Ｎ氏の奥さんは、（Ｎ−１）人と挨拶したことになりますね。
この問題の類題が「算数にチャレンジ第６０回」に出題されました。
そのときは、解けませんでしたが、今回で、スッキリしました。
◆東京都 eikiさんからの解答。
【解答】（といえるかどうか。。。）
この問題は、条件を「挨拶をしたこと」から「挨拶をしなかったこと」に変えても論理的には同じ扱いができるはずです。
（goyaさんの表において「挨拶をしなかったこと」を○印で表わしたとしても同じ表になるということです）
すなわち「挨拶をしなかった人数」と問題を読み替えても同じ答になるのですから、とにかく答は「３」です。
次にこの回数がＮ氏の奥さんのものかどうかですが、問題からＮ氏を特定する手がかりはありませんから「答が一意に定まる問題」であると信じればＮ氏の奥さんのもの以外に考えられません。
（他の人だとすると、その人を特定する手がかりがない限り、答えようがないからです）
【別の問題に帰着】
|
１から６の１桁の数字が書かれたカードがそれぞれその数字の枚数だけあり、 （１は１枚、２は２枚、・・・、６は６枚、の計２１枚あるということ） それ以外に０が書かれたカードが何枚かあります。 これらのカードの中から２つの数字が異なるように２枚ずつ選んで２桁の数字を作っていったところ、全部のカードを使い切りました。 ０のカードは何枚あったでしょう |
【その解答】
大きい順に選んでいきます。
６５，６４，６３，６２，６１
（となって１を使い切りました。さらに６を使い切るためには０が１枚必要です）
６０。５４，５３，５２
（となって２を使い切りました。さらに５を使い切るためには０が１枚必要です）
５０。４３
（となって３を使い切りました。さらに４を使い切るためには０が１枚必要です）
４０。
これで全部使い切りました。
結局０は３枚とわかりました。
６５，６４，６３，６２，６１，６０，５４，５３，５２，５０，４３，４０
しかしこれでもやはり「Ｎ氏の奥さんの回数かどうか」怪しいですね。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答（コメント）
eikiさんの抵抗がわかる気がします。
問題に条件不足とかまた、その解答をみても納得出来ませんでした。
Ｎ氏が聞けば、Ｎ氏の奥さんが、３回。
Ｎ氏の奥さんが聞けば、Ｎ氏が３回となりますね。
同じ回数になるペアがあり、そのどちらかが聞けば、０〜６の全て違った返事になることになるのですね。
私だけでなく同じように抵抗しているおられる存在を知って安心しました。
算チャレのときを思い出します。
◆千葉県 津田 さんからの解答
１）自分のパートナーとあいさつすることはない
２）Ｎ氏以外はどの人も他の人と異なった回数
条件１）より、各自のあいさつできる回数は０〜６回
条件２）より、Ｎ氏以外の７人は０〜６回の異なる回数
ここまではｇｏｙａ氏と同じです。
０から６の異なる数は全部で７通りで、Ｎ氏を除けば７人ですから、０〜６のそれぞれの数だけあいさつをした人が存在します。
Ｎ氏の奥さんが０人だとすると、他の６名は最大５人としかあいさつできないことになるので、Ｎ氏の奥さんは０人ではありません。
０人あいさつした人のパートナー以外は、最大５人しかあいさつできないので、そのパートナーが６人あいさつしたことになります。
ここで、８人から０人と６人の夫妻を除外した６人グループを考えます。
すると、Ｎ氏を除く５人は、０から４回異なる数だけあいさつしています。
前と同様に、０回と４回の人はパートナー同士です。
その２人を除外した４人グループを考えます。
今度は３人が、０から２人異なる数だけあいさつしています。
０と２人はパートナー同士です。
ですからＮ氏の奥さんはこのグループ内では１人とあいさつしています。
除外した２組のパートナーの片方
（最初の除外組では６人、次の除外組では４人の人）
ともあいさつしていますから、合計３人とあいさつしていることになります。
以上では０人の人を手掛かりにしましたが、可能な全員とあいさつした人を手掛かりとしても勿論同じです。
◆京都府の中学校３年生 アンパン？ さんからの解答。
（１） ８人は自分のパートナーとはあいさつをすることはないので、
８−(自分＋自分のパートナー）＝６となり、
一人０〜６回あいさつをすることになる。
（２）あいさつをした回数は全員違う(Ｎ氏以外)ので、必ず０〜６回に誰かがあてはまる。
４組の夫婦をＡ夫妻,Ｂ夫妻,Ｃ夫妻,Ｄ夫妻とする。
仮にＡ男さんが６回あいさつをしたとするとＡ男さんはＢ、Ｃ、Ｄ夫妻とあいさつをしたことになるので、Ａ子さんのあいさつできる回数は絶対０回になる
（他の人はＡ男さんとあいさつ済みだから最低１回）
残りの人たちは１〜５回になる。
次に、Ｂ男さんが、５回あいさつをしたとすると（Ａ夫妻をのぞくと４回）Ｂ男さんはＣ、Ｄ夫妻とあいさつをしたことになるのでＢ子さんのあいさつできる回数は１回になる（Ａ子さんと同じ理由）
残りの人たちは２〜４回になる
Ｃ男さんが４回あいさつをしたとすると（Ａ、Ｂ夫妻をのぞくと２回）Ｃ男さんはＤ夫妻とあいさつをしたことになるのでＣ子さんのあいさつできる回数は２回になる
この時点でＤ夫妻は両方とも３回あいさつをしている（つまりＤ男＝Ｎ氏）
よって、Ｎ氏の奥さんがしたあいさつの回数は３回
他の人のあいさつの回数をみると全員違う回数なので、正しい事がわかる。
◆兵庫県の中学校１年生 yuuki さんからの解答。
どの人も自分と自分のパートナーには挨拶をしないので最高でも６回しか挨拶はしなかったことになる。
よってNさん以外の人が挨拶をした回数はそれぞれ６，５，４，３，２，１，０回になる。
６回挨拶をした人は自分のパートナーと自分以外は挨拶をしたので、６回挨拶をした人と６回挨拶をした人のパー トナー以外の人は少なくとも１回以上挨拶をしていることになり、０回挨拶をした人は６回挨拶をした人のパートナ ーになる。
５回挨拶をした人は自分のパートナーと自分以外は挨拶をし、６回挨拶をした人は自分のパートナーと自分以外は 挨拶をしたので、６回挨拶をした人、０回挨拶をした人、５回挨拶をした人と５回挨拶をした人のパートナー以外の 人は２回以上挨拶をしていることになり、１回挨拶をした人は５回挨拶をした人のパートナーになる。
同様に、４回の人と２回の人はパートナーになる。
よってNさん以外にパートナーのいない、３回挨拶をした人は、Nさんのパートナーになる。 ０１２３Ｎ４５６
０＊＊＊＊＊＊＊＊
１＊＊＊＊＊＊＊○
２＊＊＊＊＊＊○○
３＊＊＊＊＊○○○
Ｎ＊＊＊＊＊○○○
４＊＊＊○○＊○○
５＊＊○○○○＊○
６＊○○○○○○＊
◆ＤＡＭ さんからの解答。
【解答】 ３回
登場人物は全員で８人（４組）
お互いパートナーと自分自身には挨拶できないので
（８−２＝６）
あいさつの一番多くした人で６回。
全員違う回数だったので６、５、４、３、２、１、０の七種類。
もちろんＮさん以外の人なのでＮさんの挨拶の回数はこの時点では不明。
表を書くと分かりやすいのですが、例えば６回挨拶した人がいるとするとそのパートナーは０回じゃないとなりたたない
ことになる。
全員に挨拶するとそのパートナーは０回じゃないと０がいなくなるから。
そうすると夫婦一組で６回の挨拶しか出来なくなるので
（６・０）（５・１）（４・２）（３・３）の四組がいることになる。
Ｎさん以外は全員バラバラなのでＮさんは３回その奥さんも３回になります。
この方法だと表と足し算引き算位しか使わないので小学生でも簡単に解ける事でしょう。
◆石川県 ようらん さんからの解答。
挨拶できる最大回数は6回、N氏以外の全員は全部で7人、つまり1回も挨拶してない人から6回挨拶した人まです
べていることになる。
6回挨拶した人は自分のパートナー以外とは全員挨拶しており、1回も挨拶していないのは6回挨拶した人のパー
トナーだとわかる。
次に、この夫妻との挨拶を除くと各々の挨拶回数は全員等しく-1回なので、やはりどの人も他の人と異なった
回数となる。
挨拶できる最大回数は4回、N氏以外の全員は全部で5人、つまり1回も挨拶してない人から4回挨拶した人まです
べていることになる。
4回挨拶した人は自分のパートナー以外とは全員挨拶しており、1回も挨拶していないのは4回挨拶した人のパー
トナーだとわかる。
次に、この夫妻との挨拶も除くと各々の挨拶回数は全員等しく-2回なので、やはりどの人も他の人と異なった
回数となる。
挨拶できる最大回数は2回、N氏以外の全員は全部で3人、つまり1回も挨拶してない人から2回挨拶した人まです
べていることになる。
4回挨拶した人は自分のパートナー以外とは全員挨拶しており、1回も挨拶していないのは2回挨拶した人のパー
トナーだとわかる。
残ったのは挨拶1回の人だがこれはN氏以外の全員の中でパートナーのいない人、つまりN氏の奥さんということ
になる。
奥さんは挨拶回数−2回の条件で1回挨拶しているので全部で3回となる。
6回挨拶した人と5回挨拶した人と4回挨拶した人と挨拶している。
ABCncbaN A\+++++-+ 6回 B+\+++--+ 5回 C++\+---+ 4回 n+++\---- 3回 c++--\--- 2回 b+----\-- 1回 a------\- 0回 N+++----\ 3回N氏は奥さんの挨拶した人としか挨拶してませんな。