◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
任意の整数Ａを１９で割る。
１）割り切れるとき
１９，３８，５７，７６，９５，１１４，・・・・，１９Ｎ
１９＝１＋９×２＝１９。
１１４＝１＋１×２＋４×２2＝１９。
１９×５２＝９８８＝９＋１６＋３２＝５７。
５７＝５＋７×２＝１９。
上記のように１９で割り切れるとき
Ｆ(Ａm)＝Ａmとなる。
２）それ以外の剰余のとき
このときは必ずＦの操作をすれば１桁の数になる。
１桁の数はＦ(Ａm)＝Ａm
以上により証明されたことになる。
【問題２】
１９98は１９で割り切れる。
したがって求める数は１９となる。
答え １９
◆京都府 the king of water gate さんからの解答。
正の整数Ａが０以上１０未満の整数ａi（０≦ｉ＜ｎ）に対して
| Ａ＝ | 0≦i＜n | １０iａi |
となっているときＦ（Ａ）を
| Ｆ（Ａ）＝ | 0≦i＜n | ２n-1-iａi |
と定義する。
１０n-1≦Ａ＜１０n（３≦ｎ）のとき
Ｆ（Ａ）
| ＝ | 0≦i＜n | ２n-1-iａi |
| ≦ | 0≦i＜n | ２n-1-i･９ |
２８≦Ａ＜１００のとき
| Ｆ（Ａ）≦ | 0≦i＜2 | ２2-1-i･９＝２７＜Ａ |
２０≦Ａ＜２８のとき
Ｆ（Ａ）≦２＋２×８＜Ａ
Ａ＝１９のとき
Ｆ（Ａ）＝１＋２×９＝Ａ
１０≦Ａ＜１９のとき
Ｆ（Ａ）＝１＋２×（Ａ−１０）＝Ａ＋（Ａ−１９）＜Ａ
１≦Ａ＜１０のとき
Ｆ（Ａ）＝Ａ
となるので
１≦Ａ＜１０又はＡ＝１９のとき
０＜Ｆ（Ａ）＝Ａ
１０≦Ａ，Ａ≠１９のとき
０＜Ｆ（Ａ）＜Ａ
となるので
Ａ0＝Ａ，Ａk＝Ｆ（Ａk-1）としたとき
Ａm＝Ａm+1＝Ｆ（Ａm）となるｍがある。
２n-1Ａ
| ＝２n-1 | 0≦i＜n | １０iａi |
| ＝ | 0≦i＜n | ２n-1-i･２０iａi |
| ≡ | 0≦i＜n | ２n-1-iａi（ｍｏｄ．１９） |
なので
Ａ≡０（ｍｏｄ．１９）⇔Ｆ（Ａ）≡０（ｍｏｄ．１９）
となるので
Ａ≡０（ｍｏｄ．１９）⇔Ａk≡０（ｍｏｄ．１９）
となる。
よって
Ａ≡０（ｍｏｄ．１９）のとき
Ａm＝Ａm+1＝Ｆ（Ａm）となるとき
Ａm＝１９となる。
Ａ≡０（ｍｏｄ．１９）でないとき
Ａm＝Ａm+1＝Ｆ（Ａm）となるとき
１≦Ａm＜１０となる。
Ａ＝１９98のとき
Ａ≡０（ｍｏｄ．１９）なので
Ａm＝１９。