◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
【問題１】
Ａの各桁の和Ｎ1は、Ａが9の倍数なので、当然9の倍数となる。
ここで100･･･008≦Ａ≦999･･･999より
9≦Ｎ1≦9×1999＝17991である。
同様にＮ2も、Ｎ1が9の倍数なので、当然9の倍数となる。
ここでＮ2はＮ1のとりうる値から考えると90より大きくなることはあり得ない。
9以上で90より小さい数の中で9の倍数は全て各桁の和が9となり、これはＮ3の値である。
【問題２】
Ｂ＝999･･･999＝101999−1 と表すことが出来る。
∴Ｂ2
＝103998−２×101999＋1
＝999･･･99800･･･001
9は1998個、8は1個、0は1998個、1は1個なので
Ｎ1＝9×1998＋8＋1＝17991
【感想】
【問題１】のＮ2の値の 範囲は求めるのが少々自信がなかったので（27以下か？）90より大きくなることはないと書いて逃げました。
それでもちゃんと答えはでるので問題はないです。
【問題２】を解いてみて気づいたんですが（僕の答えがあっていればの話ですが）ＢのＮ1とＢ2のＮ1は等しいんですね。
3乗、4乗の値は違ってくるでしょうが、規則性があるような気がします。
ＢｎのＮ1をｎで表せ、なんて問題が作れそうです。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
Ａが９の倍数なのでＮ1も９の倍数。
Ｎ2もＮ3も連鎖的に９の倍数だと分かる。
1≦Ｎ1≦9×1999
右辺は5桁なので
1≦Ｎ2≦9×5＝45
45以下の数で各桁の和が最大となるのは39の場合で
1≦Ｎ3≦12
∴Ｎ3＝9
この問題の面白いところは、どんな数であっても必ず答えが１つに定まってしまうところだと思います。
【問題２】
Ｂ2
＝(101999−1)2
＝103998−2×101999＋1
＝9999……998000………001
【9が1998個、8が1個、0が1998個、1が1個並ぶ】
よって
Ｎ1＝9×1998＋8＋1＝9×1999
解答が多く来そうだなーー。
中学生以下限定にした方がよかったかも。
(といいつつ、私も答えているけど(笑)。どうもこの手の問題は好きなので。)
【コメント】
どなたかＣＨＥＣＫ さんの追加問題に挑戦して見ませんか。