◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
３つの自然数ａ，ｂ，ｃについて、
３つの偶数 ２ａ，２ｂ，２ｃの平方和
４ａ2＋４ｂ2＋４ｃ2 を考えます。
ここで、４自然数
ａ＋ｂ＋ｃ，|ａ＋ｂ−ｃ|，
|ｂ＋ｃ−ａ|，|ｃ＋ａ−ｂ| の平方和
(ａ＋ｂ＋ｃ)2＋(ａ＋ｂ−ｃ)2＋(ｂ＋ｃ−ａ)2＋(ｃ＋ａ−ｂ)2を考えます。
※条件より、これら４数は、０にならないので、４自然数といえます。
これを計算して、４ａ2＋４ｂ2＋４ｃ2 を得ます。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
(2x)2+(2y)2+(2z)2
=(x+y+z)2+(x-y+z)2+(x+y-z)2+(y+z-x)2
成り立つ。
◆愛知県 Κ さんからのコメント。
●もう一つの７平方の定理
「７平方の定理」では、３つの偶数の平方の和を前提としていますが、これは必要条件ではありません。
２つの奇数と１つの偶数の平方の和も４つの平方数の和で表すことができます。
問題を次のように改めると、判りやすくなると思います。
【問題】
任意の３つの自然数とその和の４つの数の平方の和は、３つの平方数の和で表す事ができる事を証明してください。
◆例
１2＋２2＋４2＋７2＝３2＋５2＋６2
【解答】
３つの自然数をｘ，ｙ，ｚとおく。
ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋(ｘ＋ｙ＋ｚ)2＝(ｘ＋ｙ)2＋(ｘ＋ｚ)2＋(ｙ＋ｚ)2
ｘ，ｙ，ｚが自然数であれば、ｘ＋ｙ，ｘ＋ｚ，ｙ＋ｚ は自然数です。
（証明終り）
ｘ＋ｚとｙ＋ｚの順序を循環式とは逆にしているのは、
ｘ＜ｙ＜ｚ と仮定したとき、小大の順に並ぶようにする為です。
元の問題との関係で言えば、ｘ＋ｙ＝２ａ，ｙ＋ｚ＝２ｂ，ｚ＋ｘ＝２ｃ ですが、
本式では、ｘ＋ｙ等が偶数であることは仮定しません。
（補足１）
ｚ＝ｘ＋ｙとおき、両辺に共通な ｘ＋ｙ を消去すると、次の「５平方の定理」が得られます。
ｘ2＋ｙ2＋(２ｘ＋２ｙ)2＝(２ｘ＋ｙ)2＋(ｘ＋２ｙ)2
（補足２）
出題者も解答者も指摘していないことですが、この式は ２重等式です。
即ち、１次の和も左右の辺で等しくなっています。
ｘ＋ｙ＋ｚ＋(ｘ＋ｙ＋ｚ)＝(ｘ＋ｙ)＋(ｘ＋ｚ)＋(ｙ＋ｚ)
当たり前と言えますが、これと多重等式の性質から、次の式が３重等式になることが導けます。
ｘ0＋ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋(ｘ0＋ｘ1＋ｘ2)＋(ｘ0＋ｘ1＋ｘ3)＋(ｘ0＋ｘ2＋ｘ3)＋(ｘ1＋ｘ2＋ｘ3) ＝(ｘ0＋ｘ1)＋(ｘ0＋ｘ2)＋(ｘ0＋ｘ3)＋(ｘ1＋ｘ2)＋(ｘ1＋ｘ3)＋(ｘ2＋ｘ3)＋(ｘ0＋ｘ1＋ｘ2＋ｘ3)左辺の８数及び右辺の７数の和、平方和及び立法和は夫々等しくなります。
同様にして、ｎ変数からなる式で左辺には夫々の奇数(１を含む)個の和、右辺には夫々の偶数個の和をおけば、
２n-1数及び２n-1−１数による(ｎ−１)重等式が得られます。
また、ｘi＝２i (ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ−１)とおけば、２進法の原理により、左右の両辺の数は全て異なり、
１，２，・・・，２n−１ がそろいます。
例えば、ｎ＝４の場合、
１＋２＋４＋８＋７＋１１＋１３＋１４＝３＋５＋９＋６＋１０＋１２＋１５
が成立します。
(１，２，３次の和、６０，６２０，７２００)
多重等式の性質により、各項に同じ数を加えても成り立つので、各数に１を加えれば、
(右辺には、左辺と項数を同じにする為、１個の ０ を加えます。)
２＋３＋５＋９＋８＋１２＋１４＋１５＝１＋４＋６＋１０＋７＋１１＋１３＋１６
(１，２，３次の和、６８，７４８，９２４８)
これから、神奈川県 alphaさんの問題『f(1)+f(4)=f(2)+f(3)など』の一般解を導くことができます。
即ち、
ｆ(２)＋ｆ(３)＋ｆ(５)＋ｆ(９)＋ｆ(８)＋ｆ(１２)＋ｆ(１４)＋f(１５)
＝ｆ(１)＋ｆ(４)＋ｆ(６)＋ｆ(１０)＋ｆ(７)＋ｆ(１１)＋ｆ(１３)＋ｆ(１６)
が、任意の３次式について 成り立ちます。