◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
問題の理解が不十分なのかもしれませんが、不可能も解のうちですか。
１から１２までの和は７８。
２個の組みが６個でそれらはそれぞれ等しい。
和は１３（７８÷６＝１３）。
３個の組みが４個でそれらはそれぞれ等しい。
和は１９．５（７８÷４＝１９．５）。
以上から問題に対する理解に間違いがないとすると不可能となります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
規則に従えば、同じ数は２６でなければならない。
仮にこの数をχとして、赤のところをＡからＬとおく。
規則に従えば１３個の変数に対して１３個の１次方程式が求められる。
ＡからＬが１〜１２の数であるとすると１３元１次方程式には解がない。
したがって、不可能である。
【問題２】
問題１の赤のマスに「０」を白のマスに「１」を入れる。
そうすれば、どの「０」で展開しても和は５。
これは条件１を満たす。
また同時に条件２も満たす。
総和は１３。
図１ ０ １ ０ １
０ １ ０ １ ０
１ ０ １ ０ １
０ １ ０ １ ０
１ ０ １ ０ １
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３−１】
条件１だけでは、可能性がありすぎるので、さらに最大値は出来るだけ小さいという条件をつけ加えました。
一番大きい最小値は２２（１＋２１）です。
一番小さい最大値は３４。
色々とローテイションを試みましたが３３に出来ません。
最大値−最小値＝１２
図 １ ２１ ８ ２２ ４
２５ ９ １４ １２ １８
５ １７ １３ １５ ７
２０ １０ １６ １１ ２３
２ ２４ ６ １９ ３
多分３３は無理のような気がします。
【出題者のコメント】
【問題１】の条件からは(正確には)
２個の組みは３個３個に分かれて、それらはそれぞれ等しい。
３個の組みが２個２個に分かれて、それらはそれぞれ等しい。
となります。
いずれにせよ鋭いですね。
不可能なことを見破るとは……。
また、私自身は１３元連立方程式の解で捉えるのではなく、１〜１２の埋め込みの可能性(あることに気づけば場合分けは驚くほど 簡単になる)に着目しました。
【問題２】は正解です。
これはシステマティックに最小値を算出することが出来ます。
【問題３−１】は一般化につながる方法は見つけていませんが、この問に関しては、わりと簡単に証明することが出来ます。
つまり、条件１のみの場合、最小値はもうちょっと大きくでき、それより大きくなれないことが示せるわけです。
そして、実際の(自分の)その埋め込みを見てみたら、
『条件１かつ最大値は出来るだけ小さい』を加えても、最大値は29になっていました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３−２】
最大値アルファの最小値は１２でしょうか。
試行錯誤でチャレンジしました。 １ ５ ３ １０ ２１
６ １７ １１ ２２ １６
８ ２０ ２３ １２ ４
１３ ２４ １９ ９ １５
２ １４ ７ １８ ２５
１７−５＝１２。２２−１０＝１２。
２０−８＝１２。１６−４＝１２。
２３−１１＝１２。１４−２＝１２。
１９−７＝１２。
３×３の場合から類推しました。
ポイントは斜めのラインをうまく利用することでしょうか。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３−１】
間違えていました。 １ ２３ ６ １８ １１
２４ ５ １９ １０ １４
２ ２２ ７ １７ １２
２５ ４ ２０ ９ １５
３ ２１ ８ １６ １３
最小値の最大 ２４
最大値の最小 ２９
最初の解答の先入観がとれないのでプログラムを組みました。
コンピュータの第１番目の解答で、また１〜２５の進み方に綺麗な法則性が一目で解るのでこれを選びました。
一意になるようにするためには何個の数字を指定すればよいのでしょうか。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３−１】
この方がシンプルです。
１ ２４ ２ ２３ ５
２５ ３ ２２ ６ １９
４ ２１ ７ １８ １０
２０ ８ １７ １１ １４
９ １６ １２ １５ １３
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３−２】
なにか錯覚していたようです。 １ ２ ３ ４ ５
６ ７ ８ ９ １０
１１ １２ １３ １４ １５
１６ １７ １８ １９ ２０
２１ ２２ ２３ ２４ ２５
差の最大値の最小 ５