『３辺が１の四角形』

『３辺が１の四角形』解答

◆滋賀県の高校生　-25-@ucchie さんからの解答。

与えられた四角形ABCDと,四角形ABCDを180°回転させて作った四角形EFGHについて,辺CDと辺GHを重ねる。

この時、辺Dから辺FAに降ろした垂線の足をMとし,

∠FDM=∠ADM=α(0＜α≦ π
2 )とすると,

DM=cosα,FA=2sinαで

(△DAFの面積)=(△CEBの面積)= 2sinα×cosα
2 = sin2α
2

が成り立つ。

ここで左右の三角形の面積(△FDA=△BCE)を変形させずに,平行四辺形ABEFの面積が最大になるように右のように変形する。
(四角形ABEFが長方形の時に面積が最大となるのは明らか)

以上から,四角形ABCDの面積が最大になるときは,

(四角形ABCDの面積)

= 六角形ABCEFDの面積
2

= △ADF×2+□ABEF
2

= sin2α+2sinα×1
2

= sin2α
2 +sinα　…(*)

より,(*)の値が最大になる時である。

(*)=f(α)とすると、

f ’(α)
=cos2α+cosα
=(2cosα-1)(cosα+1)

f ’(α)=0として

∴α= π
3 ,π

ここで,0＜α≦ π
2 と定めていたが、 π
2 ＜α≦ 2π
3 の時は、

点D(C)は四角形ABEF内にあるとして解釈すればよい。

よって、

0＜α≦ π
3 のとき　:　f ’(α)≧0

π
3 ＜α≦ 2π
3 のとき　:　f ’(α)＜0

故に、α= π
3 のとき求める面積は最大で、

f( π
3 )=
2 ／2+
2 = 3
4

∴最大値 : 3
4

◆出題者の東京都　昔取った杵柄さんからのコメント。

-25-@ucchieさん、ありがとうございます。

対称にした物を合わせて、平行六角形(？)にすると、直感的で綺麗になりますね。
４辺が１の五角形などでも、この方法なら、うまく拡張できそうです。
(実は、直接計算しようとして、うまく行かなかったのですが…。)

(1)も、何か、補助線などで解く方法があれば、宜しくお願いします。

◆滋賀県の高校生　-25-@ucchie さんからの解答。

(1)

(以下，∠A＞ π
2 ,∠B＞ π
2 の場合を考えます)

直線ABに点D,Cから降ろした垂線の足を，それぞれM,Nとします。

ここで図より

・AM=ADcos(π-A)=-cosA
・DM=ADsin(π-A)=sinA

・BN=BCcos(π-B)=-cosB
・CN=BCsin(π-B)=sinB

よって，四角形ABCDの面積をSとすると,

S=(台形DMNCの面積)-(△AMDの面積)-(△BNCの面積)

= (sinA+sinB){1+(-cosA)+(-cosB)}
2 - (-cosA)sinA
2 - (-cosB)sinB
2

= {sinA+sinB-(sinAcosB+cosAsinB)}
2

= sinA+sinB-sin(A+B)
2

これは，A＜ π
2 ,∠B＜ π
2 の場合でも成り立つ。

(但し辺ADと辺BCは交錯しないものとする)

よって，求める面積は，

sinA+sinB-sin(A+B)
2 …(答)

◆東京都　サボテンさんからの解答。

(1)DからABにおろした垂線がABと交わる点をD',CからABにおろした垂線がABと交わる点をC'とする。

このとき四角形ABCD=三角形AD'D+台形D'DCC'+三角形AC'C
(三角形の面積は負の面積も含むものとする)

三角形AD'D= sinAcosA
2

台形D'DCC'= (1-cosA-cosB)(sinA+sinB)
2

三角形AC'C= sinBcosB
2

これらを足して加法定理を用いて整理すると、

四角形ABCD= sinA+sinB
2 - sin(A+B)
2

(2)考える領域を-π≦A≦π、-π≦B≦πとする。
極値を求める。
(1)で得た式をAについて偏微分し、0とおくと
cosA=cos(A+B)を得る。

これよりA=(A+B)+2πm(m:整数)かA=-(A+B)+2πm

A=(A+B)+2πmだと、B=-2πmとなり、四角形が作れない。

よってA=-(A+B)+2πmを考える。

この時2A+B=2πm

同様にして、Bについても行うと、nを整数として、
A+2B=2πn

A,Bについて解くと、A= 2π
3 *(2m-n), B= 2π
3 *(2n-m)

四角形を構成可能なm,n=0,1,2について調べると、

A= 2π
3 , B= 2π
3 しかない。

またヘッシアンを計算すると、極大値であることが分かる。

このとき sinA+sinB
2 - sin(A+B)
2 = 3
4

領域の境界では sinA+sinB
2 - sin(A+B)
2 =0なので、

A= 2π
3 , B= 2π
3 で最大値をとることが分かる。

よってA= 2π
3 , B= 2π
3 の台形。

面積は 3
4

◆宮城県　甘泉法師さんからの解答。

ｘｙ座標のうえに
点Ａ（0,0）
Ｂ（1,0）
Ｃ（1-cosA, sinA)
D(cosB,sinB)　と点をとる。

△ＡＢＣの面積Ｘ２はベクトルＡＢとベクトルＢＣの外積であらわされ
　sinA*1 - （1-cosA）*0=sinA

同様に△ＡＣＤの面積Ｘ２はベクトルＡＣとベクトルＡＤの外積であらわされ
sinＢ（1-cosA）- sinAcosB=sinＢ-sin(A+B)

和をとって四角形ＡＢＣＤの面積は

1
2 *{sinＡ+sinＢ-sin(A+B)｝

面積をＡで偏微分して０とおくと　cosA-cos(A+B)=0
同様に面積をBで偏微分して０とおくと　cosB-cos(A+B)=0

これらをとくと　
Ａ＝Ｂ,(2cosA+1)(cosA-1)=0 から　A=B=120°

◆出題者の東京都　昔取った杵柄さんからのコメント。

-25-@ucchieさん、サボテンさん、甘泉法師さん、
ありがとうございました。

自分で計算した時は、対角線に、半角公式や倍角公式を使って、ごちゃごちゃになったのですが、きれいな解き方を見せてもらえて、すごく勉強になりました。

それにしても、sin(A+B)を引くだけなのは、何となく不思議な気もします。

◆高知県　blue さんからの解答。

(1)
四角形ＡＢＣＤに対角線ＡＣを引き、
△ＡＢＣの面積をＳ₁、△ＡＣＤの面積をＳ₂とする。

Ｓ₁＝ sinB
2

対角線ＡＣの長さは余弦定理より、

AC²＝2(1-cosB)＝4(sin( B
2 ))²

AC＝2|sin( B
2 )|＝2sin( B
2 )

(∵　0＜B＜πより0＜ B
2 ＜ π
2 ，0＜sin( B
2 )＜1)

故に

Ｓ₂＝ ACsin(∠DAC)
2

ここで、

∠DAC
＝A－∠BAC

＝A－ 1
2 (π-B)

(∵　B+2∠BAC=π)

＝A+ B
2 － π
2 　　となり

sin(∠DAC)

＝sin((A+ B
2 )－ π
2 )

＝－sin( π
2 －(A+ B
2 ))

＝－cos(A+ B
2 )

したがって、

Ｓ₂＝－sin( B
2 )cos(A+ B
2 ) ＝－ 1
2 (sin(A+B)-sinA)

よって、
四角形ＡＢＣＤの面積
＝S₁+S₂

＝ 1
2 (sinA+sinB－sin(A+B))

(2)

f(x,y)＝ 1
2 (sinx+siny-sin(x+y)) {0＜x,y＜π}　とおく。

∂f(x,y)
∂x ＝ 1
2 (cosx－cos(x+y))＝0　より　

cosx－cos(x+y)＝0

∂f(x,y)
∂y ＝ 1
2 (cosy－cos(x+y))＝0　より　

cosy－cos(x+y)＝0

これより　cosx＝cosy
0＜x,y＜π　より　x＝y

cosx－cos(x+y)＝0に代入して
cosx－cos2x＝cosx－(2(cosx)²－1)＝－(2cosx+1)(cosx－1)＝0

cosx＝－ 1
2 ，1、x＝y＝ 2π
3

また、
f(0,y)＝f(x,0)＝0、f(π,y)＝siny、f(x,π)＝sinx
fは0＜x,y＜πで連続、全微分可能

x＝y＝ 2π
3 のとき　

ヘッシアン＞０、

∂²f(x,y)
∂x² ＜０より　

fはx＝y＝ 2π
3 で極大かつ最大となり　

f( 2π
3 , 2π
3 )＝ 3
4

∴max(f{0＜x,y＜π})＝ 3
4

　『３辺が１の四角形』へ

　数学の部屋へもどる