◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３】
一辺の和をＭとする。
頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとする。
３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｊ＝６Ｍ...1)
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｊ＝５５...2)
1)-2)
２(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)＝６Ｍ−５５...3)
左辺は偶数。右辺は奇数。
3)を満たす整数はない。
答え 不可能です。
【コメント】
ご指摘の通り、パリティを考えれば不可能ですね。
問題１，２については、ある２つの解からの変形で全ての解が得られます。
でもコンピュータの方が早いかもしれません。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
使用しない数をχとする。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=(1+11)×11/2=66
3(A+B+C+D)+E+F+G+H+I+J=6M....1)
A+B+C+D+E+F+H+I+J+χ=66....2)
1)-2)
2(A+B+C+D)-χ=6M-66....3)
右辺は偶数であるから、
χ=2×χ1....4)
使用しない数は偶数(2,4,6,8,10)でなければならない。
1≦χ1≦5....5)
4)式を3)式に代入して整理すると、
M=(A+B+C+D-χ1)/3+11....6)
(A+B+C+D-χ1)/3≧3....7)
7)式から、
M≧14....8)
可能であれば最小の辺の和は、Ｍ＝１４
実際に構成してみる。
頂点の数を、１，２，３，５
使用しない数を４ (X1=２)とする。
１＋２＋３＋５−２=９
９/３=３
M=３＋１１=１4
図がかけないので、連想して下さい。
１＋１１＋２=１4
２＋９＋３=１4
３＋６＋５=１4
１＋８＋５=１4
２＋７＋５=１4
１＋１０＋３=１4
１，２，３，５は３回使用されている。
他のものは１回使用されている。
上記のように実際に構成できるので最小の辺の和は１４となる。
答え １４。
問題２、問題３から奇数は必ず使用しなくてはならないことがわかる。
【コメント】
みごと正解です。
１４になる場合は３通りあります。（たぶん）
探してみてください。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３】
頂点に入る数と辺の和
１）２を使用しない場合
１，３，４，５ （１５）
１，６，７，８ （１８）
３，６，９，１０ （２０）
４，７，９，１１ （２１）
５，８，１０，１１（２２）
２）４を使用しない場合
１，２，３，５ （１４）＊
１，６，７，９ （１８）
２，６，８，１０ （１９）
３，７，８，１１ （２０）
５，９，１０，１１（２２）
３）６を使用しない場合
なし。６は必須のようです。
４）８を使用しない場合
１，２，３，７ （１４）＊
１，４，５，９ （１６）
２，４，６，１０ （１７）
３，５，６，１１ （１８）
７，９，１０，１１（２２）
５）１０を使用しない場合
１，２，４，７ （１４）＊
１，３，５，８ （１５）
２，３，６，９ （１６）
４，５，６，１１ （１８）
７，８，９，１１ （２１）
６は必須のようです。辺の和は１４〜２２のようです。
６が必須であることの証明はまだです。
【コメント】
ようやく全ての解が尽くされていることを確認できました。
これらの解の中には２つのグループがあるのですが、わかりますか。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
６が必須の証明は、清川さんにおまかせするとして、おいしいとこだけ(^^;
８を使わない場合で１つのパターンが見つかったとします。
これに対し、１つの面に対し、頂点の数と、対辺の数を入れ替えます。
（操作１とします）
問題の例だと、ＣとＦ、ＤとＧ、ＥとＪを入れ替えます。
この操作で別のマジック三角錐ができます。
理由
Ｃ＋Ｊ＋Ｇ＝Ｃ＋Ｄ＋Ｅ より、
Ｊ＋Ｇ＝Ｄ＋Ｅ
Ｊ−Ｅ＝Ｄ−Ｇ
Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝Ｅ＋Ｆ＋Ｇ より、
Ｃ＋Ｄ＝Ｆ＋Ｇ
Ｄ−Ｇ＝Ｆ−Ｃ
以上より、Ｊ−Ｅ＝Ｄ−Ｇ＝Ｆ−Ｃ
このとき、入れ替えによる変化量は
Ａ＋Ｂ＋Ｃ → Ａ＋Ｂ＋Ｆ Ｆ−Ｃだけ増加
Ａ＋Ｉ＋Ｅ → Ａ＋Ｉ＋Ｊ Ｊ−Ｅだけ増加
Ａ＋Ｈ＋Ｇ → Ａ＋Ｈ＋Ｄ Ｄ−Ｇだけ増加
Ｃ＋Ｊ＋Ｇ → Ｃ＋Ｊ＋Ｄ Ｄ−Ｇだけ増加
Ｃ＋Ｄ＋Ｅ → Ｄ＋Ｅ＋Ｆ Ｆ−Ｃだけ増加
Ｅ＋Ｆ＋Ｇ → Ｆ＋Ｇ＋Ｊ Ｊ−Ｅだけ増加
となり、どの辺も、変化量は同じとなり、元の三角錐がマジック三角錐なら、変換後の三角錐もマジック三角錐になります。
この操作を、三角錐の４面に対して行うと、元のと合わせて５通りのマジック三角錐ができます。
さらに、各数を１２から引いた数に変える（１→１１，２→１０，・・・１１→１：操作２とします）と、 ４を使わない場合のマジック三角錐ができます。
また、２を使わない場合のマジック三角錐が１つ見つかったら、操作１により５通り、操作２によって、１０を使わない場合の５通りを見つけることができます。