◆神奈川県 ねこ さんからの解答。
【問題１】
まず、
| B(n)＝ | 2 ― p | − | 1 ―――――― A(n+1)-1 |
となることを帰納法により証明する。
（証明）
1) n=1
B(1)
= 1/A(1)
= 1/p
= 2/p - 1/p
= 2/p - 1/{(p+1) - 1}
= 2/p - 1/{A(2) - 1}
より成立。
2) n=k-1 → n=k
B(k)
= B(k-1) + 1/A(k)
= 2/p - 1/{A(k) - 1} + 1/A(k)
= 2/p - 1/[{A(k) - 1}A(k)]
ここで
A(n) - 1
= A(1)A(2)・・・A(n-2)A(n-1)
= {A(n-1)-1}A(n-1)
であるから
B(k) = 2/p - 1/{A(k+1) - 1}
となり、成立。
よって、A(n)→∞（n→∞）より
B(n)→2/p（n→∞）
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
問題１の結果より
p=2
A(1)=2，A(2)=3，A(3)=7
| B(3)= | 1 ― 2 |
＋ | 1 ― 3 |
＋ | 1 ― 7 |
= | 41 ―― 42 |
| 答え | 41 ―― 42 |
◆神奈川県 ねこ さんからの解答。
【問題２−２】
帰納法により証明する。
1) n=1
S(1)＝1/C(1)
ここで、S(n)＜1より、
S(1)はC(1)=2のとき最大。
S(1) ≦ 1/2 = B(1)
となり、成立。
2) n=k-1 → n=k
S(k-1)
≦ B(k-1)
＝ 1 - 1/{A(k)−1}
S(k)
＝S(k-1) + 1/C(k)
≦1− 1/{A(k)−1}＋1/C(k)
ここで、S(n)＜1より、
C(k)＞A(k)−１
よって、S(k)はC(k)=A(k)のとき最大。
S(k)
≦ 1 - 1/{A(k)−1} + 1/A(k)
＝ 1 - 1/{A(k+1)−1}
＝B(k)
となり、成立。