◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
プログラムを組んで求めました。
誤差があるので範囲を広げてみました。
Ｎ＝１５１１〜２１７６ の範囲で、求める数は５となる。
したがって、Ｎ＝１９９９のとき、５であることは間違いないと思います。
答え ５
◆富山県 N.C さんからの解答。
今回、この問題の解答の当りをつけるために少々パソコンを使いました。
＃ 以下、sqrt(*)は（負でない）平方根です。
まず、表計算ソフトでａ1〜ａ100を両対数グラフにプロットしてみました。
そうすると
log10(ａn)≒0.5log10(n)+0.15であることに気付きます。
ここでlog10(2)≒0.3ですから
ａn≒sqrt(2n) と予想されるわけです。
このことは表計算ソフトで
ａnとsqrt(2n)を表にして比べるとすぐ確認できます。
後は、この線にそって解析的に求めてみました。
| ｂn＝ |
ａn2 ―――― ２ | と置くと、 |
ｂ2＝2、
| ｂn+1＝ｂn＋１＋ |
１ ―――― 4ｂn |
となるので、まず、数学的帰納法を用いて
（ア）n＞2のとき
| ｂn＝n＋ |
1 ― 4 | ( |
1 ―― ｂ2 | ＋ |
1 ―― ｂ3 | ＋...＋ |
1 ――― ｂn-1 | ) |
が証明できます（証明略）。
この式から、すぐに
（イ）n＞2のとき ｂn＞n
が導かれ、また、
|
1 ―― ｂ2 | ＋ |
1 ―― ｂ3 | ＋...＋ |
1 ――― ｂn-1 |
| ＜ |
1 ―― 2 | ＋ |
1 ―― 3 | ＋...＋ |
1 ――― n-1 |
| ＜loge(n-1) …(※) |
ですから（※証明略）、
（ウ）n＞2のとき
| n＜ｂn＜n＋ |
1 ―― 4 | loge(n-1) |
となり、ａn＝sqrt(2ｂn)に当てはめれば
（エ）n＞2のとき
| sqrt(2n)＜ａn＜sqrt(2n＋ |
1 ―― 2 | loge(n-1)) |
を得ます。
随分、大雑把な評価なのですが
1998＜211＜ｅ11（ｅは自然対数の底）なので
loge(1998)＜11＜12であることを用いると
n＝1999のとき
sqrt(3998)＜ａ1999＜sqrt(4004)
が得られます。
今、552＝3025、662＝4356ですから、
55＜ａ1999＜66
| 従って、[ |
ａ1999 ―――― 11 | ]＝5 |
＃(ウ)を導く途中の不等式(※)を
| ＃ |
1 ―― 2 | ＋ |
1 ―― 3 | ＋...＋ |
1 ――― n-1 | ＜loge(n)− |
1 ――― 2n | −(１−γ) |
＃（γ＝0.577...オイラーの定数）
＃とここだけ精度を上げても大差なし（＾＾；）。残念！
せっかく、手計算で評価するのですから、
ａnやｂnの一般項が代数的に求まればよいのですが良いアイデアがでません。
まあ、大雑把な評価でしたがそれなりに求まりましたので、これで良しとして下さい。
◆出題者の滋賀県 ippei さんからの解答。
| ａk+12＝ａk2＋ |
１ ―――― ａk2 | ＋２...(1) |
(1)をk＝1からk＝1999まで加えると
ａ19992
| ＝ａ12＋ | 1998 Σ k=1 |
１ ―――― ａk2 | ＋2・1998 |
| ＝3998＋ | 1998 Σ k=2 |
１ ―――― ａk2 |
∴
| 3998＜ａ19992＜3998＋ |
1 ― 4 | ＋ | 1998 Σ k=3 |
１ ―――― ａk2 |
| 3998＜ａ19992＜3998＋ |
1 ― 4 | ＋ |
4 ―― 25 | ・1996 |
3998＜ａ19992＜4317.61
よって
63.2＜ａ1999＜65.708…
| ∴５．７４…＜ |
ａ1999 ―――― １１ | ＜５．９７…… |
したがって
|
ａ1999 ―――― １１ | ＝５ |
この問題解いて下さった方に敬意を表します。