◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
プログラムを組んで検索しました。
χ＝１１６５ のとき １９９９
χ＝１１６４ のとき １９９８
χ＝１１６６ のとき ２００１
答え χ＝１１６５
２０００になる整数χは存在しないようです。
第５項までで近似値を探す。
| χ+ | χ ―― ２ | + | χ ―― ６ | + | χ ―― 24 | + | χ ――― 120 | =1999 |
120χ+60χ+20χ+5χ+χ＝1999×120２０６χ＝２３９８８０
χ＝１１６４．４６６．．
【コメント】
しかしこの問題はどうやって作ったのでしょうか。
◆富山県 N.C. さんからの解答。
関数
| f(x)=［ | χ ――― 1！ | ］+［ | χ ――― 2！ | ］+・・・+［ | χ ――― 11！ | ］ |
f(1!)=1
f(2!)=2+1=3 （＝f(1!)*2+1)
f(3!)=6+3+1=10 （＝f(2!)*3+1)
f(4!)=24+12+4+1=41 （＝f(3!)*4+1)
f(5!)=120+60+20+5+1=206 （＝f(4!)*5+1)
f(6!)=720+360+120+30+6+1=1237 （＝f(5!)*6+1)
f(7!)=5040+2520+840+210+42+7+1=8660（＝f(6!)*7+1)
なので、
f(ｘ)＝1999ならば、6!≦ｘ＜7!
α+a*n!＜(n+1)!のとき、
k≦nならば、(n!/k!)は整数なので
[(α+a*n!)/k!]=[α/k!]+a*(n!/k!)=[α/k!]+a*[n!/k!]
k＞nならば、
(α+a*n!)/k!＜1,、α/k!＜1、n!/k!＜1なので
[(α+a*n!)/k!]=0=[α/k!]+a*[n!/k!]
従って α+a*n!＜(n+1)! のとき、
f(α+a*n!)＝f(α)+a*f(n!)
故に、ｘを１０進法ならぬ「階乗進法（仮称）」で
ｘ＝ａ(1)*1!+ａ(2)*2!+ａ(3)*3!+...a(5)*5!+ａ(6)*6!
（ここで0≦ａ(n)≦n）
と表すと、
f(ｘ)＝ａ(1)*f(1!)+ａ(2)*f(2!)+ａ(3)*f(3!)+...+ａ(6)*f(6!)
ここで、
ｙ＝ａ(1)*1!+ａ(2)*2!+ａ(3)*3!+...+ａ(5)*5!とおくと、
ｘ＝ｙ+ａ(6)*6! ＜7!、ｙ＜6!、
となることから、
f(ｘ)＝f(ｙ)+ａ(6)*f(6!)＜f(6!)+ａ(6)*f(6!)＜(ａ(6)+1)*f(6!)
f(ｘ)＝f(ｙ)+ａ(6)*f(6!)≧ａ(6)*f(6!)
ゆえに、
ａ(6)*f(6!)≦f(ｘ)＜(ａ(6)+1)*f(6!)
ａ(6)*1237≦1999＜(ａ(6)+1)*1237
従って、ａ(6)＝1
次に
f(ｙ)＝f(ｘ)−ａ(6)*f(6!)＝1999-1*1237=762 に対して同様の操作をして、
ａ(5)＝3
さらに
ｚ＝ａ(1)*1!+ａ(2)*2!+ａ(3)*3!+ａ(4)*4! とおき、
f(ｚ)＝f(ｙ)−ａ(5)*f(5!)＝762-3*206=144 に対して同様の操作をして、
ａ(4)＝3
以下、ａ(3)＝2、ａ(2)＝0、ａ(1)＝1 となり、
ｘ＝ａ(1)*1!+ａ(2)*2!+ａ(3)*3!+...+ａ(6)*6!
＝1*1!+0*2!+2*3!+3*4!+3*5!+1*6!
＝1165
以上で、問題が解けたけれどもっとうまく説明できないものでしょうか？