◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
問題の９９６点は９９８点として解答します。
図のように、ｘ軸上に２点Ａ(-c,0)、Ｂ(c,0) があります。
このとき、２点Ａ、Ｂを通る円の中心は、ｙ軸上にありますが、そういう円について、次のことがいえます。
中心の座標が、O1:(0,a),O2:(0,b) で、２点Ａ，Ｂを通る２つの円
x2+(y-a)2=a2+c2・・・(1)
x2+(y-b)2=b2+c2・・・(2)
を考えます。ただしａ＜ｂ。
このとき、円(1)上の点で、ｙ＞０である点はすべて円(2)の内部に存在します。
（予備証明）
円(1)上の点
を(2)の左辺に代入して、
よって、円(1)上の点で、ｙ＞０である点はすべて円(2)の内部に含まれる。
（予備証明終わり）
（本証明）
平面上に１９９９個の点があるとき、
ある２点を通る直線を引いて、他の１９９７個の点が、その直線について、同じ側にあるような、２点Ａ，Ｂを選ぶことはできる。
この２点Ａ，Ｂと、他の１９９７個の点のうちの１個を通る円は必ず存在して、それらの中心は、２点Ａ，Ｂを結ぶ線分の垂直二等分線上にあり、すべて異なる点となる。
これらの点を、２点を通る直線に対して、点が存在しない側から順に、
Ｏ1,Ｏ2,Ｏ3・・・Ｏ1997 と番号をつけ、それに対応する１９９７個の点（円周上の点でＡ，Ｂ以外の点）を
Ｃ1，Ｃ2，Ｃ3・・・Ｃ1997 とする。
予備証明より、Ｏ999 を中心とする円に対し、
３点Ａ，Ｂ，Ｃ999 は円周上に、
Ｃ1，Ｃ2，Ｃ3・・・Ｃ998 の９９８点は内部に、
Ｃ1000・・・Ｃ1997 の９９８点は外部に存在する。
（本証明終わり）