◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
１３は素数であるから２または５の素因数をもたない。 １）下１桁の数 これは１３で割りきれない。
２）下２桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
３）下３桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
４）下４桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
５）下５桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
６）下６桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
７）下７桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
８）下８桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
９）下９桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
１０）下１０桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
１１）下１１桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
１２）下１２桁の数 １３で割りきれれば問題なし。
１３）１３桁それ自身 １３で割りきれれば問題なし。
上記のいずれもが１３で割り切れなかった場合。
１３で割ったときその余りは、１〜１２。１２通りの余りがある。
上記１３通りに対して、１２通りしか余りがないので、１）〜１３）のなかには同じ余りがあることになる。
（鳩の巣箱の原理による。）
同じ余りの大きい方から小さい方を引いた数、
ＡＢＣＤ・・×１０・・０は１３で割り切れる。
１３は素数で２または５の素因数をもたないので１０・・０とは互いに素であるから、
連続した数ＡＢＣＤ・・は１３で割り切れなければならない。
以上です。
Ｎ桁の場合のＮの条件はＮが２または５の素因数をもたない。
表現を変えると、Ｎの下１桁の数が、１，３，７，９の場合である。
「ディリクレの（引き出し）論法」とも言うのですね。
当たり前のことですが便利な論法ですね。
【コメント】
Ｎ桁の場合の問題を思いついたとき、Ｎが偶数だと全部成立しないというのが、悲しかったです。
十進法でなければ・・・などと妄想してしまいました。
（同じことですか・・・）